Нормальный закон распределения на плоскости. Нормальная корреляция.

Условия независимости случайных величин

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина. Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Необходимые и достаточные условия независимости случайных величин:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами используется:

Корреляционным моментом µ_xy случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю. µ_xy=M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю. r_xy= µ _xy/(δ_x δ_y)

Нормальный закон распределения на плоскости. Нормальная корреляция.

В общем случае выражается формулой:

Этот закон зависит от пяти параметров: Параметры представляют собой математические ожидания величин Х и Y; - их среднеквадратические отклонения; r — коэффициент корреляции величин Х и У.

Нормальная корреляция - Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Если обе функции регрессии У на X и X на У линейны, то говорят, что X и У связаны линейной корреляционной зависимостью.

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

 

35. Понятие случайной функции (процесса). Закон распределения.

 

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Обозначают: X(t), Y(t) и т.д.

Например, если U—случайная величина, то функция X(t) = t²U — случайная.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t²U при значениях аргумента t₁=2 и t₂=1,5 были получены соответственно случайные величины X₁=4U и X₂=2,25U, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {X(t)}, зависящих от параметра t.

Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета — случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость есть случайный процесс. Аргументом случайной функции может быть не только время.

 

Например, случайными являются функции:

X(t) = sin(αt), где α—случайная величина,

X(t)= Usin(t), где U —случайная величина,

X(t) = Usin(αt), где α и U—случайные величины.

 

Законы распределения случайного процесса:

Опр. Пусть t₁ произвольное фиксированное значение аргумента случайного процесса Х(t). Функция распределения сечения X(t₁) наз. одномерной функцией распределения случайного процесса Х(t). Обозначение: _.

 

Для получения более индивидуальной характеристики пользуются двумерным, трехмерным и т.д. законами распределения.

 

Опр. Пусть t₁, t₂ … t_n произвольные фиксированные значения аргумента случайного процесса Х(t). Функция совместного распределения сечений X(t₁),…, X(t_n) наз. n-мерной функцией распределения случайного процесса Х(t).

 

Обозначение:

.