ХХХІ Міжнародний чемпіонат з розв’язування логічних математичних задач

Чвертьфінал (заочний етап)

1. Скількома різними способами можна «написати» слово MATHS, починаючи з комірки М і закінчуючи коміркою S (дивись малюнок)? Від кожної комірки рухатись можна лише до сусідньої комірки. (Комірки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону).

1. Скільки існує квадратів, всі вершини яких знаходяться в зображених точках? (Дивись малюнок.) Квадрати можуть бути різних розмірів і різного розміщення.

1. В кружечки, зображені на малюнку, впишіть попарно різні числа від 1 до 9 (числа 1 та 8 уже вписані) так, щоб суми всіх чисел вздовж кожного з шести відрізків дорівнювали б 14. (Дивись малюнок: на п’яти відрізках по три числа і на одному «верхньому» - два числа.)

1. На всіх сторінках блокнотика, включаючи обгортку, Матильда поставила номери сторінок, починаючи з цифри 1. При цьому кількість використаних нею цифр на 21 більша, ніж кількість пронумерованих сторінок блокнотика. На скількох сторінках Матильда поставила номери?
2. Є три доміношки. На малюнку вони розміщені так, що зображають шестицифрове число 321110. Скільки різних шестицифрових чисел можна зобразити за допомогою цих доміношок? (Доміношки можна переставляти і повертати.)

1. Матиас розрізав прямокутник 4х9 на дві частини так, що з них можна скласти квадрат. (Розрізання здійснювалося вздовж ліній сітки і починалося так, як показано на малюнку.) Зобразіть ламану, вздовж якої було зроблено розріз.

1. На початку року відношення кількості дівчаток до загальної кількості учнів класу становило 3:7. Впродовж року прибуло 4 дівчинки і в класі кількість хлопчиків та кількість дівчаток стала однаковою. Скільки хлопчиків у класі?
2. Квадрат називають напівмагічним, якщо в ньому всі суми чисел по рядках і по стовпцях є однаковими, а одночасно на обох діагоналях – ні. На малюнку зображено такий квадрат, складений з чисел від 1 до 9. Сума чисел на обох його діагоналях дорівнює 15+18=33. Розгляньте всі можливі напівмагічні квадрати з чисел від 1 до 9, знайдіть серед них той, у якого сума чисел на обох діагоналях є найбільшою. Запишіть цю суму.

1. В клітинки таблиці 3х3 впишіть попарно різні числа від 1 до 9 (число 4 вже вписано) так, щоб трицифрове число, зображене у другому рядку, було у два рази більше, ніж трицифрове число першого рядка, а трицифрове число третього рядка було у три рази більше, ніж трицифрове число першого рядка.

1. У ребусі AAD+EMTI=FFJM однакові букви зображають однакові числа, а різні – різні. (Використовувались лише цифри від 1 до 8.) Знайдіть число FFJM.
2. Анет записала на дошці такі дати: 15,16 і 19 травня; 17 і 18 червня; 14 і 16 липня; 14,15, і 17 серпня. Серед них є точно дата народження Анет. Своєму другу Жюльєну Анет повідомила лише число народження, а подрузі Матильді – лише місяць народження. Дивлячись на дошку, Матильда сказала Жюльєну: «Я не знаю її дату народження, але точно можу сказати, що і ти не знаєш». Жюльєн, дивлячись на дошку, відповів: «Я не знав дату народження Анет, але тепер я її вже знаю». Після цього Матильда заявила, що тепер теж може назвати дату народження Анет. Коли народилася Анет?
3. Є лабіринт у вигляді сітки 5х5 (дивись малюнок). Зобразіть вертикальні та горизонтальні стінки лабіринту, так, щоб виконувались наступні умови:

- цифри, що записані біля рядків, вказують кількість горизонтальних стінок лабіринту у відповідному рядку, а цифра біля стовпчика – кількість вертикальних стінок у цьому стовпчику;

- з клітинки А можна пройти по лабіринту в клітинку Д єдиним способом, побувавши у всіх клітинках лабіринту, причому в кожній клітинці лише по одному разу.

На малюнку, зображеному нижче, показано розв’язок подібної задачі.

1. Дано п’ять раціональних чисел. Відомо, що два з них такі, що кожне дорівнює добутку чотирьох інших. Серед даних п’яти чисел є чотири цілих числа, добуток яких дорівнює 2016. П’яте число – найбільше з даних п’яти чисел. Знайдіть його. Якщо задача має декілька розв’язків, то запишіть найбільший з розв’язків.
2. Сто карток, на яких відповідно написано в порядку зростання числа від 1 до 100, розмістили в ряд. Перша дія полягає в тому, що першу картку переміщають на нову позицію, перестрибнувши вправо через одну картку. Маємо: 2,1,3,4,5,6,7,8,9,…,100. Після цього виконують другу дію, а саме: новоявлені перша і друга картки по черзі перескакують вправо рівно через дві картки (спочатку перша, а потім друга). Маємо: 3,2,4,1,5,6,7,8,9,...100. Далі виконують третю дію: новоявлені перша, друга і третя картки по черзі перескакують вправо рівно через три картки (спочатку перша, потім друга і нарешті третя). Маємо: 1,3,5,2,6,4,7,8,9,…100. Після четвертої дії маємо: 6,1,4,3,7,5,8,2,9,…,100 і так далі. Яке число написане на першій картці після того, як виконали сімнадцяту дію? Яке число написане на першій картці після того, як виконали вісімнадцяту дію?
3. Мішель і Патрік вибудовують кожен свій квадрат. Мішель у своєму квадраті зробив наступне: на перетині кожного рядка і кожного стовпця записує число, яке дорівнює сумі номерів відповідного стовпця і рядка. (Дивись малюнок.) Патрік у своєму квадраті на перетині кожного рядка і кожного стовпця записує число, яке дорівнює добутку номерів відповідного стовпця і рядка. Час, відведений на вибудову квадратів, вичерпався і на диво виявилося, що суми записаних Мішелем і Патріком чисел однакові. Цікаво, що у Мішеля був квадрат 99х99. Який квадрат мав Патрік?

1. В точці niche на ланцюгу, довжиною 8м, прив’язаний собака Плутто, який може бігати по кругу. В точці arbre росте дерево на відстані 8м від точки niche. Білки Чіп і Дейл не можуть відбігати від цього дерева більше, ніж на 8м. Відстань від дерева до паркана 4м. За парканом haie є кіт Люцифер, тому білкам не можна забігати за паркан. Обчисліть площу ділянки, по якій можуть бігати білки, якщо відстань від точки niche до паркану 12м. Відповідь округліть до цілих м². (Візьміть, якщо потрібно, π=3,14. √3=1,732, √2=1,414.)

1. Обчислюють суму 0²+1²+2²+3²+4²+…. В той момент, коли вперше одночасно і доданок став паліндромом (принаймні двоцифровим), і сума стала паліндромом, додавання припиняють. Запишіть доданок, на якому обчислення припиняються.
2. Для n=3 з цифр 1,2,3 записують всі можливі трицифрові числа, за винятком тих, у яких цифри зліва направо записані у порядку зростання. Таких чисел п’ять. Потім для n=4 за допомогою цифр 1,2,3,4 записують всі можливі чотирьохцифрові числа, за винятком тих, у яких є підряд три цифри, що записані у порядку зростання зліва направо. Таких чисел 17. Для n=7 таких чисел рівно 2017. Скільки таких чисел для n=8?