Составитель: преподаватель кафедры

Ф 20-014

 

Утверждено

Протокол заседания кафедры

От 18 апреля 2012

 

 

Вопросы и задания к экзамену

по дисциплине «Уравнения математической физики»

4 курс, специальность 1-31 03 01 математика

дневной формы обучения

 

1. Основные понятия курса уравнений математической физики.

2. Постановка краевых задач. Корректные и некорректные краевые задачи. Пример Адамара.

3. Теорема Коши-Ковалевской.

4. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (случай уравнений гиперболического типа).

5. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (случай уравнений параболического типа).

6. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (случай уравнений эллиптического типа).

7. Классификация уравнений в частных производных высших порядков. Характеристики уравнений. Характеристический конус.

8. Вывод уравнения поперечных колебаний струны.

9. Вывод уравнения поперечных колебаний мембраны.

10. Постановка краевых задач для уравнений гиперболического типа. Задача Коши на прямой для однородного и неоднородного уравнений.

11. Формула Даламбера. Обобщенная задача Коши.

12. Формула Римана. Задача Гурса.

13. Решение задачи Коши в пространстве методом усреднения. Формула Пуассона-Кирхгофа. Принцип Гюйгенса.

14. Решение задачи Коши на плоскости методом спуска. Формула Пуассона.

15. Общая формальная схема метода разделения переменных решений смешанных задач для гиперболических уравнений.

16. Обоснование метода разделения переменных в случае классических и обобщенных решений. Энергетические неравенства.

17. Уравнение Бесселя. Цилиндрические функции.

18. Сферические и другие специальные функции.

19. Вывод уравнения теплопроводности.

20. Постановка краевых задач для уравнений параболического типа.

21. Теорема о максимальном и минимальном значениях решений уравнения теплопроводности. Корректность первой смешанной задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.

22. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом интегральных преобразований Фурье.

23. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.

24. Общая формальная схема метода разделения переменных решений смешанных задач для параболических уравнений.

25. Функция источника.

26. Обоснование метода разделения переменных в случае классических и обобщенных решений. Энергетические неравенства.

27. Распространение тепла в ограниченных и полуограниченных телах с разрывными граничными условиями.

28. Интегральные формулы Грина.

29. Определение и свойства гармонических функций.

30. О единственности решений задачи Дирихле и Неймана.

31. Объемный потенциал. Телесный угол. Интеграл Гаусса. Поверхность Ляпунова.

32. Поверхностный потенциал двойного слоя. Поверхностный потенциал простого слоя.

33. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям со слабой особенностью.

34. Разрешимость внутренних задач Дирихле и внешних задач Неймана. Разрешимость внутренних задач Неймана и внешних задач Дирихле.

35. Решение задач Дирихле и Неймана методом функций Грина

36. Метод фиктивных зарядов построения функции Грина задач Дирихле.

37. Решение задач Дирихле для шара методом функции Грина. Интеграл Пуассона.

38. Решение задач Дирихле для круга методом функции Грина. Интеграл Пуассона.

39. Общая формальная схема метода разделения переменных решений смешанных задач для уравнений Пуассона.

40. Обоснование метода разделения переменных в случае классических и обобщенных решений.

41. Теорема Лиувилля. Поведение производных гармонических функций на бесконечности.

42. Вариационные методы решения задач Дирихле и Неймана.

Составитель: преподаватель кафедры

В.С. Немец

Заведующий кафедрой

В.Н. Горбузов