Неперервність функції. Основні властивості.

ФУНКЦІЯ. ОСНОВНІ СПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ

Фу́нкція — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.

Основні способи задання функції:

· Аналітичний спосіб. При даному способі задання функція задається за допомогою формули , де – деякий вираз із змінною х.

· При графічному способі задання зображають графік функції в системі координат х0у.

· Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що відповідність між елементами множин і задається у формі таблиці. При цьому способі наводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних в таблиці значень аргументу

· При словесному способі задання функції закон, за яким значення функції відповідають значенням аргументу, формулюється словесно. Так, наприклад, розмір прибуткового податку є функцією заробітної плати платника податків.

Елементарні функції — клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, зворотні тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів. Наприклад, раціональні функції є відношеннями многочленів, тому вони належать до елементарних функцій. Так само, неважко переконатися, що до елементарних функцій належать гіперболічні та зворотні гіперболічні функції.

Будь-яка елементарна функція є неперервною і диференційовною у своїй області визначення. Похідна елементарної функції також є елементарною функцією. З іншого боку, зворотна функція та первісна елементарної функції може не бути елементарною функцією.

 

 

ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ. РОЗКРИТТЯ ДЕЯКИ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ ПРИ ЗНАХОДЖЕННІ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ.

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Позначення:

або при

 

НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ.

Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або .

Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , .

Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція .

Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція є монотонною на , то вона перетворюється на 0 тільки один раз.