Застосування диференціала в наближених обчисленнях

С.р.. №10

Як уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: y dy. Підставивши сюди значення y і dy, дістанемо

(6)

Абсолютна похибка величини y — dy є при х 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж x, тому що при f' (х) 0 величини y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю

f(х + х) f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна похибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині диференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х = ; в) при х = і x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;

б) в)

2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

y= f (х+ x)-f (x)= (х + x)3 + 2 (х + x)2 - (х3 + 2x2) =

=(Зx2 + 4x) x + (3х + 2 + x) x2;

dy = f' (x) x = (3x2 + 4x) dx.

Величини y і x еквівалентні при x 0 і х 0, оскільки dx = x і

Абсолютна похибка | y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x 0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що

якщо х - і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x 0 і х .

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х;> 0 справедлива формула

О Розглянемо функцію f (х) = x (0; + ). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то

С.р. №11

Теорема Лагранжа (теорема про скінченні прирости)

Теорема 3.8. Якщо функція

1) неперервна на відрізку ,

2) диференційовна в інтервалі ,

то в цьому інтервалі існує принаймні одна така точка , , що має місце рівність:

. (3.18)

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію , де . Підберемо так, щоб функція на кінцях відрізка мала рівні значення :

, .

Тоді

Функція задовольняє умови теореми Ролля. Вона: 1) неперервна на , 2) , 3) диференційовна на . Отже, за цією теоремою знайдеться таке, що .

Знайдемо похідну . Тоді з умови матимемо, що , звідки , що і потрібно було довести.

Геометричний зміст теореми Лагранжа

Рис. 3.7

На рис. 3.7 зображено графік функції

, яка задовольняє умови теореми Лагранжа на відрізку

. Відмітимо, що

є кутовим коефіцієнтом хорди, що стягує дугу АВ, яка відповідає приросту b - a. З іншого боку,

- кутовий коефіцієнт дотичної в точці з абсцисою

Отже, на гладкій дузі АВ графіка функції завжди знайдеться принаймні одна внутрішня точка , в якій дотична паралельна хорді, що стягує кінці дуги А і В.

Зауваження. Теорему Лагранжа можна записати через прирости:

. (3.19)

Приклад 3.23. На дузі АВ кривої знайти точку М, в якій дотична буде паралельна хорді, якщо , .

Розв’язання. Функція неперервна і диференційовна для всіх значень х. За теоремою Лагранжа між двома значеннями і існує таке значення , що має місце рівність, отримана з (3.18)

де . Підставивши відповідні значення, дістанемо:

, ; .

Отже, маємо точку .

Теорема Коші (Cauchy theorem) (про відношення приростів двох функцій)

Теорема 3.9. Якщо функції і

1) неперервні на відрізку ,

2) диференційовні в інтервалі , причому ,

то в цьому інтервалі існує точка , така, що має місце рівність:

. (3.20)

Доведення. Рівність (3.20) можлива, оскільки , .