Свойства операции умножения матриц

Операции над матрицами

 

Сложение

Суммой двух матриц называется матрица такая, что

Свойства операции сложения матриц

· А + В = В + А (коммутативность)

· (А + В)+С = А + (В + С)(ассоциативность)

 

Умножение на число

Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что

 

Свойства операции умножения матрицы на число

· (дистрибутивность относительно сложения матриц)

· (дистрибутивность относительно сложения чисел)

· (ассоциативность)

Произведение матриц

умножение двух матриц возможно только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Свойства операции умножения матриц

· (ассоциативность)

· (дистрибутивность)

· (дистрибутивность)

 

2) Определитель матрицы

 

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A =

 

3) Обратные матрицы

 

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

 

4) Алгоритм нахождения матрицы

НЕТУ (((

 

5) Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:

 

Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

 

6) Основные понятия систем линейных уравнений

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k₁, k₂,..., k_n), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x₁, x₂,..., x_n дает верное числовое равенство.

 

7) Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений

 

Метод Крамера (формулы Крамера) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

 

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

 

8) Метод Гауса. Решение систем линейных уравнений

Метод Гаусса представляет собой обобщение способа подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения последнего уравнения и заканчивается определением первого неизвестного.

Совокупность проведенных действий называется прямым ходом метода Гаусса.

9) Понятие вектора. Операции над векторами

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам)

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю

Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и |a| = |b|

Разностью векторов a и b называется сумма a+(-b)

Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием:

· |b|=|a|*|a|;

· вектор b коллинеарен вектору a;

· векторы b и a направлены одинаково, если a>0, и противоположно, если a<0;

 

10) Вектора в прямоугольной декартовой системе координат

 

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Координаты вектора - коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

 

11) Уравнение прямой на плоскости

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² = 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1)

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

 

12) Линии второго порядка

 

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a₁₁x₂ + a₁₂xy + a₂₂y₂ + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y² = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

13) Ф-ия. Способы задание ф-ии. Область определения и область значения

Функция — закон зависимости одной величины от другой

Наиболее употребительны три методы:

· табличный,

· графический,

· аналитический.

 

Табличный способ - общеизвестен (таблицы логарифмов, квадратных корней и т. д.). Он сразу дает числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами. Недостатки: таблица трудно обозрима в целом; она часто не содержит всех нужных значений аргумента

Графический способ состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента, а ординаты (по вертикали) - соответствующие значения функции. Часто бывает, что функция быстро стремится вверх или вниз, поэтом тогда удобнее масштабы на осях брать разными.

Преимущества графического способа — легкость обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента; недостатки: ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

 

Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами, например,

y=f(x)

Если зависимость между х и у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то величина у называется явной функцией аргумента х, в противном случае — неявной. Преимущество здесь в том, что всегда можно вычислить точно значение для любого аргумента. Недостатки, что по самой формуле сложно понять общее поведение функции.