Плоскопараллельным (плоским) называется такое движение тела, при котором все его точки перемещаются в параллельных плоскостях.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1 Краткие сведения из теории

3.1.1 Представление плоскопараллельного движения в виде комбинации поступательного и вращательного движений

Плоскопараллельным (плоским) называется такое движение тела, при котором все его точки перемещаются в параллельных плоскостях.

Рисунок 3.1

На рисунке 3.1 показан ряд положений стержня AB, совершающего плоскопараллельное движение в плоскости рисунка. Из представленной схемы видно, что каждая точка стержня движется по своей траектории, форма которой отличается от траекторий иных точек. При этом в процессе движения происходит поворот тела. Поэтому плоское движение характеризуется как линейными скоростями отдельных точек тела, так и угловой скоростью поворота тела.

Рисунок 3.2

Плоскопараллельное движение можно представить как результат сложения двух движений: поступательного вместе с некоторой точкой, принимаемой за полюс, и вращательного вокруг полюса. Как правило, в качестве полюса выбирается точка с известными кинематическими параметрами (траекторией, скоростью, ускорением). На рисунке 3.2, а) показано, как перемещение отрезка AB из положения A ₀ B ₀ в положение A ₁ B ₁ может быть представлено в виде последовательности двух перемещений: поступательного вместе с точкой А и поворота на угол φ вокруг точки А.

Из анализа приведенной схемы движения отрезка следует, что скорость точки В может быть найдена в виде геометрической суммы векторов скорости точки A и скорости в движении точки В вокруг точки А (рисунок 3.2, б):

. (3.1)

Поскольку движение точки В вокруг А происходит по дуге окружности радиуса AB, то вектор направляется перпендикулярно отрезку АВ в сторону вращения тела вокруг точки А. Численное значение этой скорости равно произведению угловой скорости тела на расстояние ВА:

.

При решении задач c использованием соотношения (3.1) следует выполнить построение векторов , и .После этого искомые скорости можно определить либо проецированием векторного соотношения (3.1) на оси координат, либо путем решения геометрической задачи об определении длин сторон или углов в треугольнике, сторонами которого являются названные векторы.

Из соотношения (3.1) следует теорема, которая в некоторых случаях позволяет быстро рассчитать скорость точки, если известно направление ее вектора: проекции векторов скоростей любых двух точек абсолютно твердого тела на прямую, соединяющие эти две точки, равны между собой.

Рисунок 3.3

Применительно к рисунку 3.3 в соответствии с этой теоремой можно записать:

.

3.1.2 Расчет скоростей при плоскопараллельном движении с использованием мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, линейная скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эта точка может находиться за пределами периметра фигуры, но обязательно лежит в одной подвижной плоскости вместе с фигурой.

Существует два основных варианта определения положения МЦС, каждый из которых связан с наличием тех или иных исходных данных.

Рисунок 3.4

1Условием задачи оговорено, что плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности. В этом случае МЦС находится в точке соприкосновения фигуры с поверхностью, как это показано на рисунке 3.4.

2 Известны направления векторов скоростей двух точек плоской фигуры. Тогда для определения положения МЦС необходимо провести перпендикуляры к векторам скоростей. Возможны три случая:

Рисунок 3.5

а) если векторы скоростей точек плоской фигуры не параллельны, то точка пересечения перпендикуляров, проведенных к ним, является мгновенным центром скоростей (рисунок 3.5);

Рисунок 3.6

б) перпендикуляры к векторам скоростей параллельны (рисунок 3.6). Такое их расположение приводит к тому, что эти перпендикуляры не пересекаются. Следовательно, отсутствует мгновенный центр вращения. Это означает, что в данный момент времени отсутствует вращение тела, и оно движется мгновенно поступательно. Поэтому в данный момент времени скорости всех точек тела одинаковы, а угловая скорость тела равна нулю;

в) перпендикуляры к векторам скоростей двух точек тела совпадают. В этом случае мгновенный центр скоростей находится на пересечении двух линий: общего перпендикуляра к векторам скоростей и отрезка, проведенного через концы этих векторов, как это показано на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7

Общим для всех случаев является перпендикулярность вектора скорости любой точки плоской фигуры по отношению к отрезку, соединяющему его с МЦС. Это свойство используется также для определения направлений векторов скоростей при известном положении мгновенного центра скоростей.

Если положение МЦС удалось найти, то скорость любой точки А тела может быть рассчитана по формуле

,

где АР – расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей Р.