Узагальнені координати. Число ступенів свободи

Узагальненими координатами механічної системи звуться незалежні параметри, що визначають положення (конфігурацію) системи у будь-який момент часу. Узагальнені координати прийнято позначати через q _i.

Ми традиційно звикли до частого використання декартових координат для визначення положення точок системи. Якщо механічна система складаються з n матеріальних точок, положення кожною з яких визначається в просторі трьох вимірювань координатами , то для визначення положення механічної системи треба знати Зn координат. Але, якщо система має зв'язкі, координати її точок через накладені зв'язки задовольнятимуть якимсь рівнянням (рівнянням зв'язків) і число незалежних між собою координат буде менше 3n.

Наприклад, для кульки А, вимушеної залишатися на деякій горизонтальній площині (рис. 1.6), при вибраній системі відліку рівняння зв'язку має вид z=0 і положення точки А на плоскості може бути визначено двома незалежними координатами x _A і y _A, які слід прийняти за узагальнені

Якщо матеріальна точка А крім того пов'язана з початком відліку 0 стрижнем ОА довжини l (рис. 1.7), то на точку А накладено два зв'язки, рівняння яких: 1

, 2)

Таким чином, незалежною координатой буде тільки одна: або (тоді визначитися з другого рівняння зв'язку), або (тоді отримаємо з того ж рівняння зв'язку). Тобто, за узагальнену координату можна прийняти або , або , або прийняти за узагальнену координату кут φ, що утворюється стрижнем ОА з віссю x, . Тоді декартові координати точки А будуть:

Незалежною величиною є тількі φ.

Можливо тут як узагальнену координату вибрати довжину S дуги АМ, або площу s сектора АОМ, вказавши у всіх випадках позитивний і негативний напрям відліку відповідної координати.

Ми розглянули приклади геометричних зв'язків і побачили, що кожен геометричний зв'язок виражається рівнянням і зменшує число незалежних координат системи на одиницю. Тому у системи, що складається з n матеріальних точок, на яку накладено n геометричних зв'язків буде S= 3n-k незалежних

координат. Кожен геометричний зв'язок, що зв'язує координати точок системи, описується математичним рівнянням, У загальному випадку це рівняння зв'язку має вигляд

. (1.7)

Числом ступенів свободи механічної системи називається число незалежних можливих переміщень цієї системи.

Одна вільна матеріальна точка має три незалежні можливі переміщення і, отже, три ступені свободи. Точка на плоскості xy (рис.1.6) - два незалежні можливі переміщення (два ступені свободи). Точка А па плоскості xy, пов'язана з точкою 0 стрижнем довжини l має одне незалежне переміщення, - або або (одну ступень свободи).

Якщо системі, на яку накладений геометричний зв'язок вигляду|виду| (1.7), надатити можливе переміщення, то координати її точок|точок| стануть рівні

і як і раніше задовольнятимуть рівнянні (1.7), тобто буде

. (1.8)

. (1.9)

. (1.10)

Користуючись цим співвідношенням, можна одне з можливих переміщень, наприклад δx ₁, виразити за допомогою всіх останніх.

Таким чином, кожен геометричний зв'язок вигляду (1.7) приводить до співвідношення (1.10.), тобто зменшує число незалежних переміщень точок системи на одиницю. В результаті для системи, що складається з n матеріальних точок, на яку накладено n геометричних зв'язків, матимемо S=3n-k незалежних можливих переміщень, тобто ця система матиме S ступенів свободи. Отже, у системи з геометричними зв'язками число незалежних між собою координат точок системи дорівнює числу ступенів свободи системи і навпаки. Тому число ступенів свободи такої системи можна визначати або числом незалежних можливих переміщень, або по числу незалежних координат (узагальнених координат). Механічну систему, конфігурація якої визначається S - узагальненням координатами, можна розглядати як точку в S - мірному просторі, положення якої визначається S-компонентним вектором стовпцем (штрих означає транспоновану матрицю).

З погляду аналітичної механіки можливим переміщенням системи є вектор , тобто вектор ізохорних (в даний момент часу) варіацій узагальнених координат. Якщо механічна| система підпорядкована голономним (геометричним і интегруємим| кінематичним) зв'язкам, то, як показано вище, незалежним координатам відповідають незалежні варіації координат . В цьому випадку точку|точку|, визначувану вектором , можливо розглядати|розглядувати| як вільну.

Якщо ж механічна система неголономна, то незалежним узагальненим координатам q _iвідповідають залежні варіації координат . Нагадаємо, що неголономні зв'язки не накладають обмежень на конфігурацію системи, але накладають обмеження на ії можливі переміщення. Це означає що для неголономної системи число ступенів свободи менше числа незалежних (узагальнених) координат на число неголономних зв'язків. В цьому випадку механічну систему не можна розглядати як вільну точку в S - мірному просторі. При дослідженні її руху, окрім активних сил, доводиться враховувати реакції неголономних зв'язків.

B подальшому розглядатимемо голономні системи. Якщо така система має S ступенів свободи, то її положення визначатиметься S узагальненими координатами q ₁ ,q ₂.. .,q _s. Оскільки параметри q _iоднозначно визначають положення системи, то декартові координати x _i ,y _i ,z _i будь-якої точки системи можна виразити через узагальнені координати у вигляді:

, (1.11)

Час t входить в ці залежності в тому випадку, якщо зв'язки нестаціонарні.

Радіус-вектор будь-якої точки|точки|

, (1.12)

як випливає з (1.11), можна виразити|виказувати| через узагальнені координати

. (1.13)

Під час руху системи узагальнені координати з часом змінюватимуться, тобто|цебто| будуть деякими функціями часу. Похідні від узагальнених координат за часом називають узагальненими швидкостями.

. (1.14)

Розмірність узагальненої швидкості залежить від розмірності вибраної узагальненої координати: якщо q - лінійна величина, то - лінійна швидкість; якщо q- кут, то – кутова швидкість; якщо q- площа, то - секториальна швидкість.

Узагальнені сили

Вираз для узагальнених сил отримують як коефіцієнти, що стоять при варіаціях узагальнених координат у виразі можливої роботи всіх активних сил, що діють на деяку механічну систему. Хай маємо механічну систему, що складається з n матеріальних точок, на які діють активні сили і реакції зв'язків . Якщо положення точок системи визначається щодо центру радіус-векторами , то елементарна робота всіх сил на можливому переміщенні системи буде

Для ідеальних зв'язків (гладка поверхня, нерухома шарнірна опора, нерозтяжна нитка, невагомий стрижень) . Реакції неідеальних зв'язків (наприклад, сили тертя) зручно відносити до активних сил, тоді елементарна робота всіх сил на можливому переміщенні системи визначиться виразом

. (1.15)

Припустимо, що механічна система має S ступенів свободи і її положення визначається узагальненими координатами q ₁ ,q ₂ ,...,q _s. Згідно рівняння (1.13) можна всі радіуси-вектори виразити через S узагальнених координат q ₁ ,q ₂ ,.., q _s. Тоді, розраховуючи d за правилом обчислення повного диференціала, матимемо (нагадаємо, що можливе переміщення визначається для даного моменту часу t, отже, при обчисленні d необхідне t вважати за величину постійну), отримаємо

Підставляючи ці значення δ у вираз (1.15) і виносячи загальні множники δ q ₁, δ q ₂,…,δ q _s за дужки, знайдемо, що

Введемо|запроваджуватимемо| позначення:

Отримуємо|одержуємо| вираз|вираження| елементарної роботи активних сил в узагальнених координатах:

. (1.18)

Як відомо, елементарна робота сили на можливому переміщенні, рівному δ S, буде

(1.19)

Таким чином, та частина сили, яка здійснює роботу, тобто входить у вираз δ A як коефіцієнт при можливому переміщенні δ S. По аналогії з цим величини , що входять в рівність (1.16) як коефіцієнти при , розглядають як деякі узагальнені сили. Залежно від розмірності узагальненої координати узагальнені сили можуть мати різні розмірності. Оскільки добуток Q·δq має розмірність роботи, то [Q]= , тобто, розмірність узагальненої сили дорівнює розмірності роботи, що ділиться на розмірність відповідної узагальненої координати. Наприклад, якщо q має розмірність довжини (метр), то Q - розмірність звичайної сили (Ньютон); якщо q- кут (безрозмірна величина), то Q- розмірність Нм, тобто розмірність моменту; якщо q- об'єм в м³, то Q - має розмірність Н/м², тобто розмірність тиску і так далі. Як видно, поняття узагальненої сили охоплює всі величини, що зустрічалися раніше як міра механічної взаємодії матеріальних тіл.

Випадок потенційних сил

Якщо існує силова функція U від координат точок системи x ₁, y ₁, z ₁, … ,x_n, y_n, z_n, диференціал якої дорівнює елементарній роботі сил, що діють на систему

, (1.20)

то всі сили, що діють на систему, називають потенційними. Якщо система має S ступенів свободи і положення її визначається S узагальненими координатами q ₁ ,q ₂, …, q _s, то, як видно з рівності (1.11), всі координати точок системи x _i ,y _i ,z _i _, можуть бути виражені через ці узагальнені координати. В результаті отримаємо

. (1.21)

Тоді або, обчислюючи як повний диференціал

Порівнюючи цей вираз з|із| рівнянням (1.18), приходимо до висновку, що

Помічаючи, що силова функція пов'язана з потенційною енергією системи П залежністю U=-П (П=-U), отримуємо:

. (1.22)

Таким чином, якщо всі сили, що діють на систему, потенційні, то узагальнені сили рівні узятим зі|із| знаком мінус приватним похідним| від потенційної енергії системи по відповідним узагальненим координатам.