Термический КПД идеального цикла Карно

 

, (22.7)

где – абсолютная температура нагревателя, – абсолютная температура холодильника.

Цикл Карно, проведенный в обратном направлении, является идеальной холодильной установкой с холодильным коэффициентом:

 

. (22.8)

 

Первое начало термодинамики, являясь выражением закона сохранения и превращения энергии, не позволяет, однако, определить направление протекания процессов в природе. Периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в количестве, равном подведенному ему теплу (вечный двигатель второго рода), не противоречит первому закону. Но он запрещается вторым законом термодинамики.

Сущность второго закона термодинамики выражается несколькими формулировками:

1. Для перевода тепла в работу необходимо наличие, кроме источника тепла, охладителя более низкой температуры (С. Карно (1796 - 1832) – фр. физик, инженер).

2. Тепло само по себе не может перейти от более холодного тела к более теплому (Р. Клаузиус (1822 - 1888) – нем. физик).

3. Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого была бы механическая работа, совершенная за счет охлаждения теплового резервуара (В. Томсон (1824 - 1907) – англ. физик).

4. Невозможен такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу (М. Планк (1858 - 1947) – нем. физик).

На основании выражений (22.7) можно записать:

 

(22.9)

 

где знак ² = ² относится к обратимому процессу, а знак ² < ² - к необратимому. Учитывая, что , выражение (22.9) примет вид

 

. (22.10)

 

Отношение количества теплоты, получаемого или отданного рабочим телом, к температуре, при которой происходит теплообмен, называется приведенным количеством теплоты. Выражение (22.10) можно сформулировать так: алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты за цикл не больше нуля (в обратимом цикле равна нулю, в необратимом – меньше нуля).

Сумму приведенных количеств теплот для обратимого процесса можно представить как разность значений некоторой функции состояния, которую называют энтропией:

 

(22.11)

 

где и – энтропия в конечном 2 и начальном 1 состояниях соответственно; является дифференциалом энтропии:

 

. (22.12)

 

Если dQ > 0, то dS > 0; если dQ < 0, то dS < 0. Следовательно, возрастание или убывание энтропии указывает на направление теплообмена.

С учетом первого закона термодинамики уравнение (22.11) примет вид

 

.

 

При переходе термодинамической системы из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии не зависит от вида процесса, определяется только начальными и конечными параметрами состояния (значениями температуры и объема в этих состояниях).

Второе начало термодинамики является статистическим законом: оно отражает закономерности движения огромного числа частиц тел, входящих в состав изолированной системы.

 

Примеры решения задач

Задача 1. Один моль идеального двухатомного газа, занимающий объем = 12,3 л под давлением = 2 атм, нагревается при постоянном объеме до = 3 атм. Затем газ расширяется при постоянном давлении до = 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объема. Определить: 1) температуру точек цикла; 2) термический коэффициент полезного действия цикла.

 

Дано:

n = 1 моль

= 12,3 л = 1,23 м³

= 2 атм = 2 Па

= 3 атм = 3 Па

= 24,6 л = 2,46 м³

R = 8,31

 

 

Перед решением задачи необходимо:

1) начертить график цикла в координатах р,V;

2) на графике отметить параметры состояния газа в каждой точке; выделить известные параметры.

 

Решение

Из анализа условий задачи видно, что в каждой из точек 1, 2, 3, 4 температура может быть определена из уравнения состояния газа.

Но рациональнее пользоваться уравнениями соответствующих процессов.

1)

Подставляя данные, получаем

 

К = 290 К; = 290 К.

 

2) Процесс 1 - 2, = сonst – изохорный.

 

 

К = 435 К; = 435 К.

 

3) 2 - 3 – процесс изобарный, = сonst.

К = 870 К; = 870 К.

 

4) Процесс 3 - 4 изохорное охлаждение, = const.

 

К = 580 К; К.

 

5) Коэффициент полезного действия цикла

 

 

где А – работа совершенная в цикле, – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.

Полная работа, совершенная в данном цикле, равна

 

.

 

Работы и равны нулю, так как в изохорном процессе изменение объема d V = 0, следовательно, и работа равна 0 (перемещения тел нет).

Полезная работа за цикл равна

 

.

 

В изобарном процессе работа равна А = р DV, следовательно,

 

 

Так как , то

Тогда

 

 

Полезная работа цикла численно равна площади цикла.

- количество теплоты, полученное в цикле при изохорном и изобарном нагревании, т. е. в процессах 1 - 2 и 2 - 3:

 

 

КПД цикла

 

 

Вычисляем h, подставив данные:

 

; h = 7,8 %.

 

6) Можно сравнить КПД данного цикла с КПД обратимого цикла Карно:

 

.

 

7) Изобразите данный цикл в координатах р, Т и V, Т:

 

Рис.22.7

 

8) Изобразите данный цикл в координатах Т, S

 

 

Ответ: Т ₁ = 290 К, Т ₂ = 435 К, Т ₃ = 870 К, Т ₄ = 580 К, h = 7,8 %; график на рис. 22.8.

 

Задача 2. На рис.22.9 изображен в координатах Т, V цикл. В цикле заданы и температуры нагревателя и холодильника. Найти h.

 

 

Решение

Начертим график цикла в координатах р,V:

1 - 2 – изобарное расширение.

2 - 3 – изохорное охлаждение.

3 - 1 – изотермическое сжатие.

КПД цикла равен:

 

 

А – работа полезная, совершенная в цикле, - полученное в цикле тепло от нагревателя, оно получено в изобарном процессе 1 - 2; в процессах 2 - 3 и 3 - 1 тепло отдается холодильнику.

 

- закон Бойля - Мариотта.

 

На участке 2 - 3 можно записать

 

,

 

но а .

Следовательно,

 

.

 

Тогда

 

.

 

Задача 3. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя = 400 ⁰С, температура холодильника = 20 ⁰С. Время, за которое осуществляется цикл Карно, = 1 c. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.

Дано:

= 400 ⁰С = 673 К

= 20 ⁰С = 293 К

т = 2 кг

m = 29 ^.

t = 1 с

R = 8,31

N -?

Решение

Изобразим цикл Карно на рис. 22.10, по условию.

Мощность

,

где А – работа, совершенная воздухом за один цикл.

В процессе 1 - 2 рабочее тело получает тепло от нагревателя и совершает работу, так как это процесс изотермический, то

 

 

КПД цикла Карно:

 

отсюда

 

Из уравнения Пуассона можно найти отношение

 

 

но так как где

Воздух - смесь в основном двухатомных газов, поэтому

Тогда

 

;

 

;

 

;

 

Вт = 6,2 ^. Вт.

 

Ответ: N = 6,2 ^. 10⁵ Вт.

Задача 4. 6,6 г водорода расширяются изобарически до удвоения объема. Найти изменение энтропии при этом расширении. Построить график зависимости S от T.

 

Дано: Решение

р = const

т = 6,6 кг

m = 2

D S -?

 

Из первого начала термодинамики для изобарного процесса (р = const) получим количество теплоты :

 

, ,

 

где

Работа (это следует из уравнения состояния идеального газа; ).

Тогда

 

 

 

Интегрируя, получаем

 

 

Для изобарного процесса

 

Тогда

 

По условию

 

Вычислим D S:

.

 

Вывод: Энтропия при изобарном расширении водорода увеличилась , следовательно, процесс необратим, самопроизвольно сжиматься газ не может. Энтропия указывает направление процесса.

 

Задача 5. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении водорода т = 6 г в пределах 10⁵…0,5 ^.10⁵ Па. Построить график зависимости S от р и S от V.

 

Дано:

T = const

m = 6 ^. кг

m = 2 ^.

= Па

Па

R = 8,31

D S -?

Решение

Т = const.

из уравнения состояния имеем тогда ; для изотермического процесса, поэтому

.

 

В изотермическом процессе D S > 0 при расширении.

Ответ: D S = 17,3 .

 

Задача 6. Найти изменение внутренней энергии, энтропии и работы совершенной газом при переходе газа из состояния А в состояние В по пути: а) АСВ и б) по пути АDВ (рис.22.13).

 

Дано:

n = 8,2

= 3 л = 3 ^. м³

л = 4,5 ^. м³

= 8,2 ^. Па

Па

 

Решение

I. а) путь АСВ:

 

 

б) путь АDВ:

 

 

Вывод: D , т. е. внутренняя энергия является функцией состояния, изменение от процесса не зависит.

 

II. , так как , а

.

А_АСВ = 6 ^. 10⁵ (4,5 ^. 10^-3 – 3 ^. 10^-3) = 900 Дж;

 

А_ADB = 8,2 ^. 10⁵ (4,5 ^. 10^-3 – 3 ^. 10^-3) = 1230 Дж.

 

Работа зависит от процесса .

III. ;

 

 

 

 

Из газовых законов получаем

 

.

 

Тогда

 

то есть

 

 

Энтропия и внутренняя энергия являются функциями состояния. Их изменение не зависит от пути перехода, а зависит только от начального и конечного состояний.

Ответ: D U ₁ = D U ₂ = 600 Дж, А ₁ = 900 Дж, А ₂ = 1230 Дж, D S ₁ = D S ₂ = = 305 .

 

Качественные задачи

Задача 1. Изобразите для идеального газа графики изотермического и адиабатного процессов на диаграмме U, S (U – внутренняя энергия, S – энтропия).

 

Задача 2. Изобразите для идеального газа примерные графики изотермического, изохорного, изобарного и адиабатного процессов на диаграмме: 1) T, S; 2) V, S; 3) p, S. S откладывать по оси абсцисс. Графики изобразить проходящими через общую для них точку.

 

Задача 3. На рис. 22.14 изображены пять процессов, протекающих с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия газа в ходе каждого из процессов? Как ведет себя энтропии в ходе каждого из процессов?

 

Задача 4. Изобразите для идеального газа примерные графики изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов на диаграмме: 1) S, T; 2) S, V; 3) S, p. S откладывать по оси ординат. Графики имеют общую для всех исходную точку.

 

Задача 5. На рис. 22.15 изображен цикл Карно на диаграмме p,V для идеального газа. Какая из заштрихованных площадей больше, I или II?

 

Задача 6. На рис. 22.16 изображены две изоэнтропы для одной и той же массы идеального газа. Какая из энтропий больше?

 

 

Задача 7*. Идеальный газ (с известным g) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар. Изотермические процессы протекают при температурах и изобарные – при давлениях р ₁ и р ₂ (р ₂ в е раз больше, чем р ₁). Найти КПД цикла.

 

Задача 8. Как ведет себя энтропия термодинамической системы при адиабатическом процессе?

 

Задача 9. Некоторое количество газа переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 посредством: а) обратимого адиабатного процесса; б) некоторого необратимого процесса. Начальное и конечное состояния газа для обоих процессов одинаковы. 1. Чему равно приращение энтропии газа D S в обоих случаях? 2. Может ли второй процесс быть также адиабатическим?

 

Задача 10*. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор. 1) Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия на различных участках цикла? 2) На каких участках: а) совершенная газом работа А; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?

 

Задача 11*. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух адиабат и двух изобар. 1. Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия на различных участках цикла? 2. На каких участках: а) совершенная газом работа A; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?

 

Задача 12. Изобразить на диаграмме Т, V совершаемый идеальным газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изобар; б) двух изобар и двух изохор.

 

Задача 13. Изобразить на диаграмме Т, р совершаемый идеальным газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изохор; б) двух изохор и двух изобар.

 

Задача 14. Изобразить на диаграмме Т, S совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.

 

Задача 15*. Круговой процесс состоит из изотермы, адиабаты и двух изобар. Изобразить этот процесс на диаграмме Т, S (рис.22.17)

 

 

Задача 16*. Идеальный газ (с известным g) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы протекают при температурах и , изохорические – при объемах V₁ и V₂ (V₂ в е раз больше, чем V₁). Найти КПД цикла.