Основні поняття та визначення. Постановка задачі

Зміст

Вступ. 3

Розділ 1. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. 4

1.1. Основні поняття та визначення. Постановка задачі 4

1.2. Формула прямокутників обчислення визначених інтегралів. 7

1.3. Метод (формула) трапеції обчислення визначених інтегралів. 9

1.4. Параболічна формула (формула Сімпсона) обчислення визначених інтегралів 11

Розділ 2. Абсолютні похибки наближеного обчислення визначених інтегралів 14

2.1. Абсолютна похибка формули прямокутників. 14

2.2. Абсолютна похибка формули трапеції 14

2.3. Абсолютна похибка параболічної формули (формули Сімпсона) 16

2.4. Приклади. 18

Висновок. 24

Список використаної літератури. 25

 

Вступ

Чисельне інтегрування — одна з найбільш важливих тем обчислювальної математики.

При розв’язуванні математичних, інженерних, фізичних задач досить часто виникає потреба обчислювати визначені інтеграли. Лише в небагатьох випадках для їх обчислення можна отримати аналітичні вирази для первісних підінтегральних функцій. Тому в більшості випадків користуються чисельними методами інтегрування.

В даній курсовій роботі ми розглянемо наступні наближені методи чисельного інтегрування: метод прямокутників; метод трапецій; метод парабол (Сімпсона).

Актуальність теми курсової роботи полягає в тому, що при розв’язанні низки математичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграли від функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крім того, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, у яких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.

Предметом дослідження є методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бути представлена у вигляді комплексу елементарних функцій.

Метою роботи є аналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільш уживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів: метод прямокутників, метод трапеції та метод Сімпсона.

Дана курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновку, списку використаної літератури та викладена на 25 сторінках. Перший розділ присвячено загальним поняттям та основним методам обчислення визначених інтегралів. У другому розділі розглядаються абсолютні похибки методів наближеного обчислення визначених інтегралів.

Розділ 1. Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Основні поняття та визначення. Постановка задачі

Розглянемо функцію , що визначена на відрізку . Нехай функція диференційована на відрізку і її похідна в кожній точці дорівнює . Тоді функція називається первісною функції та записується як: .

Так як ( = = для будь-якої сталої С, то можна говорити про множину первісних – множину функцій виду . Множина первісних функції називається невизначеним інтегралом функції і позначається :

де — значення невизначеного інтегралу, тобто множини первісних функції :

Розглянемо функцію , що визначена на відрізку . Розіб’ємо відрізок на n довільних частин точками і позначимо , , .

На кожному відрізку візьмемо довільну точку і обчислимо в ній значення функції . Вираз називається інтегральною сумою функції . Якщо при існує границя , не залежна ні від способу розбиття відрізку точками , , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку , а сама функція — інтегровною на , та позначається:

В основу чисельного інтегрування покладене наближене обчислення площі під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла виду:

Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл від неперервної функції Якщо може бути знайдена первісна F(х) підінтегральної функції, то за формулою Ньютона-Лейбніца

Однак, цю цілком зручну формулу на практиці не завжди можна застосувати. Нерідко доводиться мати справу з інтегралами, які не виражаються через елементарні функції, це, наприклад, інтеграли виду: , , , , , ,…. Також аналізуючи наближенні формули для біномних ймовірностей, ми можемо спостерігати, що у виразі обчислення інтеграла ускладнюється тим, що для функції не існує первісної в елементарних функціях, тому і вводять функцію Лапласа , яка табульована.

Тобто якщо для елементарної функції первісна функція не є елементарною, то застосування формули Ньютона-Лейбніца не приводить до мети. Так, для елементарної функції = , неперервної на відрізку існує первісна F(x) і, отже, за формулою Ньютона-Лейбніца, правильна рівність

Однак значення первісної в точках і , а отже, і значення визначеного інтеграла, що стоїть у лівій частині рівності (1), не можна обчислити, оскільки не є функцією елементарною.

Якщо ж первісна не може бути знайдена або якщо функція задана графічно або таблично, то для обчислення інтеграла використовують наближені формули, точність яких може бути зроблена як завгодно великою.

Наближені методи обчислення визначеного інтеграла в більшості випадків основані на тому, що визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою , сегментом осі і вертикальними прямими, які проходять через точки і . Таким чином, задача про наближене обчислення інтеграла рівносильна задачі про наближене обчислення площі криволінійної трапеції.

Суть наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що крива замінюється новою, достатньо “близькою” до неї кривою.

Тоді шукана площа наближено рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена новою кривою.

В якості цієї нової обмежуючої кривої вибирають таку, для якої площа криволінійної трапеції може бути обчислена. В залежності від вибору нової кривої ми отримаємо ту чи іншу наближену формулу інтегрування або метод інтегрування.

Отже, виникає потреба у знаходженні формул для наближеного обчислення визначеного інтеграла.