Визначення моменту інерції обертальної системи

1. Закріпити симетрично за допомогою гвинтів важки m1 на стрижнях у найвіддаленіших від осі обертання положеннях і лінійкою виміряти відстань rі від середини цих тіл до осі обертання.

2. Виміряти штангенциркулем діаметр шківа.

3. Підвісити важок масою m на нитку й, акуратно намотуючи нитку на шків, підняти його на деяку висоту h. Відпустити маятник і одночасно включити секундомір, зафіксувати час падіння важка m з висоти h. Вимірювання часу падіння повторити 3 рази.

Обчислити момент інерції системи за формулою (7). Дані вимірювань та обчислень записати в таблицю.

 

Таблиця

m =... кг; h =... м; R =...м.

Величина

Розташування важка згідно з номером досліду

біля шківа

по середині

на кінцях

довільно

t, с

t cер., с

М, Н м

rі, м

, с

Jсер., кг м

 

4. Перемістити важки m на середину стрижнів хрестовини, виміряти їх відстань rі до осі обертання, час падіння тягарця m із заданої висоти h та обчислити момент інерції даної системи.

5. Перемістити важки впритул до шківа й виконати завдання п. 3.

6. Розташувати важки на довільній відстані rі від осі обертання симетрично відносно неї і знову повторити п. 3.

7. За результатами вимірювань обчислити моменти сил за формулою (5) та значення кутового прискорення за формулою (6).Зробити висновок.

 

Контрольні питання

 

1. Що називається моментом сили, моментом інерції тіла, моментом імпульсу?

2. Сформулювати і записати основний закон динаміки обертального руху.

3. У чому полягає аналогія між законами поступального й обертального руху?

 

Лабораторна робота № 133

ВИВЧЕННЯ ОСНОВНОГО ЗАКОНУ ДИНАМІКИ

ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ

 

Мета роботи експериментально переконатися в справедливості основного закону динаміки обертального руху.

Прилади та обладнання: маховик, набір гир, штангенциркуль, секундомір.

Теоретичні відомості

наведені в лабораторній роботі № 132.

 

Опис установки і методу вимірювань

 

Установка для вивчення обертального руху містить маховик у вигляді масивних металевих дисків, які обертаються навколо горизонтальної осі. На вал маховика насаджений шків, до якого прикріплено нитку з гирею. Гиря рівноприскорено опускається, викликаючи обертання маховика.

Обертальний момент сили, що діє на маховик, М = F (1)

де F сила натягу нитки; d діаметр шківа.

 

1 маховик; 2 шків; 3 вантаж на нитці.

Силу F визначимо з рівняння руху у формі другого закону Ньютона:

ma = mg F, або

F = m (g a), (2)

де m маса гирі; а = прискорення гирі при опусканні з висоти h за час t.

Тоді момент сили М = m (g ). (3)

Кутове прискорення шківа і лінійне прискорення а точок, віддалених від осі на відстань, рівну радіусові, зв'язані співвідношенням

 

= , або = . (4)

Момент інерції маховика визначимо за формулою

J = . (5)

 

Порядок виконання роботи

 

1. Виміряти штангенциркулем діаметр шківа.

2. Прикріпити нитку з вантажем масою m1 до шківа й, обертаючи маховик, підняти вантаж на висоту h. За шкалою висоти, яка знаходиться на стіні, визначити значення h по нижньому краю гирі.

3. Одночасно з відпусканням маховика ввімкнути секундомір і виміряти час опускання гирі t до моменту удару гирі об підлогу. Результати записати в таблицю.

4. Повторити дослід із першим вантажем 5 разів.

5. Виконати пп. 14 для вантажу масою m2.

 

Таблиця

h =...м; D =...м;

№

m1 =...кг

m2 =...кг

до- слі-ду

t1, c

с

1, р/с

М1, Н м

J1, кг м

t2, c

с

2, р/с

М2, Н м

J2, кг м

Сер.

 

6. За формулами (4), (3), (5) обчислити кутове прискорення, момент

сили, момент інерції маховика.

7. Визначити відносну та абсолютну похибки вимірювань:

відносну

=

абсолютну

Jсер. = Jсер..

8. Порівняти знайдені значення моменту інерції маховика і зробити висновок.

Контрольні питання

наведені в лабораторній роботі № 132.

 

Лабораторна робота № 150

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАНЬ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

 

Мета роботи визначити період коливань пружинного маятника й встановити залежність періоду від маси маятника; визначити коефіцієнт пружності статистичним і динамічним методами.

Прилади та обладнання: кронштейн зі шкалою, набір пружин і тягарців, терези з важками, секундомір.

 

Теоретичні відомості

Коливальним рухом, або просто коливаннями, називається рух або зміна стану, що характеризується повторюваністю в часі фізичних величин, які визначають цей рух чи стан. Прикладами коливального руху в механіці можуть бути коливання маятників, струн, мембран телефонів, балансирів кишенькових годинників, мостів та інших споруд, що зазнають дії змінного навантаження тощо.

Коливальний рух називається періодичним, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростіший тип періодичних коливань гармонічні коливання. Коливання деякої фізичної величини називаються гармонічними, якщо її залежність від часу має вигляд

x = A sin (t +).

Основні характеристики механічного коливального процесу:

х = f(t) миттєве зміщення відносно положення рівноваги;

(t +) фаза коливань; циклічна частота коливання число повних коливань за 2 с; Т період коливання час одного повного коливання; частота число коливань за 1 с; початкова фаза коливань.

Пружинним маятником називають систему "важокпружина", яка

з'єднана з нерухомою опорою (рис.1). Розглянемо коливання цього маят-ника. Вони відбуваються під дією пружної сили F = kx, де х змі-щення важка від положення рів-новаги. Під дією цієї сили важок масою m рухається і рівняння його руху F = ma, або F = m .

Рисунок 1

 

Тоді m = kx, або + (1)

Це рівняння називається диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Його розв'язок запишемо формулою

x = A sin (t +), (2)

де циклічна частота коливань

= . (3)

Період коливань

Т = або Т = 2 (4)

Можна показати, що при гармонічному коливанні і швидкість, і прискорення також змінюються за гармонічним законом.

 

Опис установки та методу вимірювань

 

Пружинний маятник складається зі стійки 2, на якій закріплена лінійка з поділками 3. На стійці передбачено пристрій для закріплення пружини 1, до якої підвішують важок 4. Коливання важка, підвішеного на невагомій пружині (рис. 2), аналогічні до розглянутих раніше коливань пружинного маятника.

Справді, на тіло масою m діють пружна сила F = kx і сила тяжіння р. Запишемо основне рівняння динаміки для цього випадку:

m = kx + р; m = k (x xo),

де xo = cтатична деформація пружини під дією ваги тіла.

Рисунок 2

Позначаючи x =(х x ) та враховуючи, що = , знайдемо рівняння руху тіла: m = kx , (5) яке тотожне рівнянню (1). Тому формули (2), (3), (4) справедливі також і для інших коливань тіла, підвішеного на пружині, але коливання відбу- ваються навколо положення x .

Із (4) можна знайти коефіцієнт пружності пружини динамічним методом k = (6)

 

Порядок виконання роботи

 

1. Визначити за допомогою терезів масу трьох важків.

2. Закріпити перший важок на пружині і виміряти її статичне видов- ження = , де початкова довжина пружини;

довжина пружини під дією ваги важка.

Результати вимірювань записати в таблицю. Підрахувати k за формулою k = .

Результат записати в таблицю.

 

 

Таблиця

Статичний метод	Динамічний метод
m =... кг	N	t, с	Т, с
=... м
=... м
=... м
k =... Н/м	k =... Н/м

 

3. Відтягти важок униз на 23 см і відпустити його, ввімкнути секундомір та виміряти час 20, 30, 40 коливань. Час коливань записати в таблицю. За формулою Т = обчислити період коливань пружинного маятника.

4. За формулою (6) обчислити коефіцієнт пружності k .

5. Вимірювання згідно з пп. 24 повторити з іншими важками. Результати записати в таблиці, аналогічні наведеній.

6. За результатами дослідів побудувати графік залежності періоду коливань Т пружинного маятника від його маси.

7. Проаналізувати одержані результати і зробити висновок.

 

Контрольні питання

 

1. Вивести диференціальне рівняння гармонічних коливань пружинного маятника.

2. Записати розв'язок цього рівняння і назвати основні характеристики гармонічних коливань.

3. Записати залежність між періодом і циклічною частотою; між циклічною частотою та частотою.

4. Від чого залежить період коливань пружинного маятника?

 

Лабораторна робота № 8

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАНЬ МАТЕМАТИЧНОГО

ТА ФІЗИЧНОГО МАЯТНИКІВ

 

Мета роботи визначити: 1) період коливань математичного маятника і на досліді переконатися у справедливості теоретичної формули періоду його коливань; 2) момент інерції фізичного маятника.

Прилади і матеріали: універсальний маятник, секундомір, призма для визначення центра ваги.

 

Теоретичні відомості

 

Фізичним маятником називається тверде тіло, яке закріплене на осі, що не проходить через центр ваги тіла, і може здійснювати коливання відносно цієї осі. Довжина фізичного маятника відстань від його центра мас до осі коливань.

Для руху фізичного маятника можна записати основне рівняння обертального руху:

= , (1)

де кутове прискорення, = ; ;

М = mg sin момент сил, які діють на тіло, відносно осі коливання (силами тертя нехтуємо);

довжина фізичного маятника;

J момент інерції маятника відносно осі коливання.

Рисунок 1

Підставивши значення М і в (1), одержимо: + sin = 0 диференціальне рівняння коливань фізичного маятника. Маятник здійснює гармонічні коливання при малих кутах відхи-лення від положення рівноваги (рис.1). Тому sin , і рівняння коливань матиме вигляд + = 0,

або + = 0, де = . Розв'язок рівняння коливань фізичного маятника запишемо формулами:

= A sin ( T +),

або

= A соs ( T +),

циклічна частота коливань, = .

Тоді період коливань фізичного маятника

Т = 2 . (2)

Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на невагомій та нерозтяжній нитці, яка коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння (рис.2).

 

Рисунок 2

Момент інерції матеріальної точки відносно осі коливань дорівнює J = m , а підставивши це значення у (2), одержимо формулу періоду коливань математичного маятника: Тм = 2 . (3) Період коливань математичного маятника залежить тільки від його довжини і прискорення вільного падіння. Зведеною довжиною фізичного маятника називається довжина такого

математичного маятника, який коливається синхронно з фізичним, тобто має однаковий із ним період коливань.

Щоб знайти зведену довжину Lзв., прирівняємо праві частини формул (2) і (3):

2 = 2 ,

звідки Lзв. = .

За теоремою Штейнера J = Jo + m , де Jo момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через центр мас і паралельна осі коливання О. Отже,

Lзв. = .

Із цієї формули видно, що зведена довжина фізичного маятника завжди більша його довжини.

Прискорення вільного падіння можна обчислити за періодом коливань і довжиною математичного маятника

g = . (4)

 

Опис установки

 

Установка містить математичний і фізичний маятники, осі коливань яких збігаються. Математичний маятник це важок на нитці, довжина якої регулюється. Фізичний маятник має вигляд сталевого стрижня, на якому утримуються два роли-ки, положення котрих теж можна змінювати. На стрижнічерез кожні 10 мм нанесен і кільцеві нарізи для точного визначення довжини фізичного маятника. До установки додається балансувальна призма для визначення положення центра мас.

Рисунок 3

1 математичний маятник; 2 вороток для регулювання довжини математичного маятника; 3 шкала для визначення довжини ма-тематичного маятника; 4 фізичний маятник.

 

Порядок виконання роботи

 

Завдання 1. Експериментально визначити залежність періоду коливань математичного маятника від його довжини; визначити прискорення вільного падіння.

1. Установити довжину математиного маятника = 0,50 м, відхилити його від положення рівноваги на 5...7 .

2. Відпустити маятник і після 23 коливань увімкнути секундомір та виміряти час 10 коливань. Дослід повторити для іншого числа коливань (n =10...30). Дані записати в таблицю.

 

Таблиця 1

Ви- мі- ри	Число коли- вань n	Час t, с	Пе- ріод Т, с	Прискорен- ня вільного падіння, g, м/с	Абсо- лютна похибка g, м/с	Довжина математичного маятника , м
						0,50
сер.
						0,45
сер.
						0,40
сер.

 

3. За формулою Т = обчислити періоди коливань і знайти середнє значення.

4. За формулою (4) обчислити прискорення вільного падіння g.

5. Виміри за пп. 14 повторити для довжини маятника = 0,45 м та = 0,40 м.

6. Побудувати графік залежності періоду коливань Т математичного маятника від його довжини Т = f ().

7. За результатами всіх вимірів визначити середнє значення прискорення вільного падіння та абсолютну похибку вимірювань.

8. Результати записати у вигляді g = gсер. gсер. і порівняти його з табличним.

 

Завдання 2. Визначити момент інерції фізичного маятника.

1. Установити фізичний маятник на балансувальну призму так, щоб він знаходився в стані рівноваги і виміряти відстань від точки опори до верхнього ножа (осі обертання). Ця відстань є довжиною фізичного маятника . Записати знайдену довжину в таблицю.

2. Установити фізичний маятник на установку з опорою на верхній ніж. Відхилити маятник від положення рівноваги і виміряти час 10 коливань.

3. Обчислити період коливань фізичного маятника.

4. За формулою J = обчислити момент інерції фізичного маятника, результат записати в таблицю. (Маса маятника m = 2,6 кг).

5. Повторити пп. 24 для 20 і 30 коливань.

6. Знайти середнє значення моменту інерції фізичного маятника й абсолютну похибку вимірювань.

 

Таблиця 2

Ви- мі- ри	Кіль- кість коли- вань n	Час t, с	Пе- ріод Т, с	Довжина фізичного маятника , м	Момент інерції J, кг м	Абсо- лютна похибка J, кг м
сер.

 

7. Результат записати у вигляді

J = Jсер. Jсер.

8. Зробити висновок.

 

Контрольні питання

 

1. Що називається фізичним і математичним маятниками?

2. Написати формули періоду коливань фізичного та математичного маятників.

3. Яку величину називають зведеною довжиною фізичного маятника?

4. Яку величину називають довжиною фізичного маятника?

5. Написати закон, за яким змінюється зміщення при гармонічних коливаннях.

6. Вивести диференціальне рівняння малих коливань фізичного маятника.