Амплитудное уравнение Шредингера

Рассмотрим общий метод решения уравнения Шредингера в случае, когда потенциальная энергия P не зависит от времени и зависит только от координат: . Такой случай называется стационарным.

Решение уравнения Шредингера (5) будем искать в виде

. (6)

Подставим (6) в (5) и выполним дифференцирование, учитывая, что функция зависит только от времени, а y(r) только от координат:

.

Поделим это равенство на y(r)j(t):

.

Левая часть полученного равенства зависит только от времени, а правая часть - только от координат. Поэтому равенство может выполняться, если только обе его части равны порознь некоторой константе E:

(7)

Последнее уравнение эквивалентно

. (8)

Полученное уравнение (8) решить проще, чем уравнение Шредингера (5), поскольку оно не содержит производной по времени. Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера, и для его решения необходимо задать конкретную зависимость потенциальной энергии от координат. Решение этого уравнения будем обозначать , где индекс Е указывает на зависимость этого решения от константы Е.

Допустим, что удалось найти решение уравнения (8). Поскольку решение первого из уравнений (7) находится элементарно (это экспонента)

,

то, согласно (6), решение уравнения Шредингера (5) имеет вид

. (9)

Полученное выражение (9) определяется частным значением константы Е и поэтому является частным решением уравнения Шредингера. Так как уравнение Шредингера линейное, то сумма частных решений, отвечающих различным значениям Е, тоже решение. Общее решение уравнения Шредингера в стационарном случае есть сумма частных решений вида (9)

, (10)

где c_E произвольные комплексные коэффициенты.

Таким образом, в стационарном случае для построения общего решения уравнения (5) достаточно решить стационарное уравнение Шредингера (8).

Первый множитель в (9) есть комбинация косинуса и синуса:

,

и, следовательно, оно описывает колебания с частотой n= E/h и комплексной амплитудой , зависящей от координат. Поэтому функцию называют амплитудной или координатной волновой функцией, а уравнение (8), которому удовлетворяет , называют амплитудным или координатным уравнением Шредингера. Далее будет удобно использовать уравнение (8), переписанное в виде

. (11)

Формула (10) нуждается в уточнении: необходимо указать, по каким значениям Е идет суммирование в (10), какой смысл имеет величина Е, как найти коэффициенты c_E.

1. Физический смысл Е проще всего выяснить, сравнив (9) с волной де Бройля (1):

В этом выражении, как известно, Е - энергия. Математическая структура здесь та же, что и в (9). Поэтому и в общем случае величину Е можно интерпретировать как полную энергию частицы. Более строгое обоснование этого утверждения будет дано позднее.

2. Суммирование в (10) идет по всем значениям энергии Е, принадлежащим энергетическому спектру.

Энергетическим спектром называется множество значений энергии Е, при которых амплитудная волновая функция обладает всеми свойствами, перечисленными в теореме: непрерывностью, непрерывностью производной (при úPú< ¥), нормируемостью, однозначностью. Только в этом случае волновая функция может иметь вероятностную интерпретацию.

Данное здесь определение области суммирования в выражении (10) гарантирует справедливость для этого выражения всех свойств, перечисленных в теореме об общем решении уравнения Шредингера, если

(без доказательства).

3. Коэффициенты , входящие в (10) определяются по начальному условию

.

Если подставить в это равенство выражение (10), положив в нем t=0 (тогда все экспоненты превращаются в единицы), то получим

Это равенство позволяет выразить все коэффициенты через волновую функцию начального состояния , поскольку функции при различных Е взаимно ортогональны в функциональном пространстве.

Физический смысл коэффициентов : если состояние частицы описывается волновой функцией вида (10), то при измерении энергии частицы могут быть получены различные значения из энергетического спектра, при этом вероятность получить определенное значение энергии Е совпадает с квадратом модуля коэффициента :

.

В заключении отметим важное свойство полученных частных решений: если волновая функция частицы имеет вид (9), то плотность вероятности обнаружения частицы не зависит от времени. Действительно,

Квадрат модуля мнимой экспоненты равен единице, и зависимость от времени исчезает. Поэтому решения уравнения Шредингера вида (7) называют стационарными волновыми функциями.