Дополнительный член формулы Лагранжа.

Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть для некоторой функции f (x), определённой на [ a, b ] вычислены (m +1) её значений в точках x _0, x _{1, …,} x_m: f (x ₀), f (x ₁), f (x_m) и требуется по этим значениям вычислить значение f (x) при некотором новом значении x. В этом состоит простейшая задача интерполирования. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L (x) наинизшей степени, который в заданных точках x_i (k =0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f (x_i), что и функция f (x), и приближённо полагают для любого x из [ a, b ] f (x)@ L (x).

Подобное приближённое равенство называется интерполяционной формулой. Итак, нужно прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем при определённых предположениях относительно функции f (x) - оценить погрешность приближённой формулы.

Для отыскания многочлена L (x), удовлетворяющего условиям L (x_i) = f (x_i) (i =0,1,…, m), удобно ввести базисный многочлен m -й степени l_k (x), k =0,1,…, m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = x_k и обращается в 0 при x = x_i, если i ¹ k.

Замечание 1. Индекс этого многочлена, в отличие от общепринятых обозначений многочленов, указывает не степень, а номер многочлена k.

Конкретизируем многочлен l_k (x). Так как при при x = x_i, если i ¹ k имеет место l_k (x)=0, то его можно записать в виде:

так как при x = x_k имеет место l_k (x)=1, то подставляя в выражение l_k (x) значения x = x_k и приравнивая результат единице, получим:

В результате получим:

, (1)

а многочлен L (x)= вычисляется по формуле:

(2)

Тогда многочлен удовлетворяет всем из условий L (x_i) = f (x_i). Степень этого многочлена не выше m и значит условиями L (x_i)= f (x_i) он определяется однозначно; его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближённое равенство f (x)@ L (x)- интерполяционной формулой Лагранжа.

Замечание. многочлен l_k (x) можно записать более сжато, если ввести выражение w (x) = (x-x ₀)(x-x ₁) … (x-x_m), обращающееся в 0 в узлах интерполирования x ₀, x _1,…, x_m.

Покажем это: (x ¹ x _k)а

(x_k-x ₀) … (x_k-x_{k -1})(x_k-x_{k +1}) … (x_k-x_m) =

Таким образом, и . (3)

Дополнительный член формулы Лагранжа.

оценим разность f (x)- L (x), где x -любое фиксированное значение из отрезка [ a, b ], отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция f (z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m +1)-го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция j (z)= f (z)- l (z)- Kw (z) тоже имеет (m +1) производных и к тому же обращается в 0 в узлах x_i (i= 0,1,…, m). выберем постоянную K так, чтобы и при z = x было j (x)=0,т.е. положим

(1), (так как x ¹ x_i,то w (x)¹0).

По теореме Ролля в (m+ 1) промежутках между m+ 2корнями x, x ₀, x ₁, …, x_m функции j (z)найдётся m+ 1 различных корней её производной j^' (z). Применяя снова теорему Ролля к функции j^' (z) и к m промежуткам между её (m+ 1) корнями, установим существование m различных корней второй производной и так далее. Продолжая это рассуждение, на(m+ 1)-ом его шаге придём к существованию корня x (m+1) - й производной j ^{( m +1)}(z), так что:

j ^{( m +1)}(x)=0(a<x<b)(2).

Но L ^{( m +1)}(z)º0 ибо степень многочлена L (z) не выше m, a w ^{( m +1)}(z)º(m+ 1)! Учитывая определение вспомогательной функции j (z),имеем:

j ^{( m +1)}(z) =f ^{( m +1)}(z)- K (m+ 1)!

Так что из (1) получается, что . Окончательно получим:

(a<x<b) (3).

Это интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от f (x)@ L (x) она является точной.

Замечание: Если на отрезке [ a, b ] то, так как на этом отрезке , получаем такую оценку для погрешности формулы f (x)@ L (x): .