Сложная функция или функция от функции

Глава 3.

Занятие 1.

Общие сведения о функциях

Область определения функции

Определение 1.1. Переменная величина называется функцией другой переменной

величины , называемой аргументом, если каждому значению из заданной области поставлено в соответствие единственное значение .

Определение 1.2. Областью определения функции называется

множество всех значений аргумента , для которых можно вычислить значения функции .

Если функция задается формулой (аналитический способ задания), то областью

определения функции являются все числа, для которых формула имеет смысл.

Область определения функции будем обозначать буквой .

Часто данную функцию рассматривают не на всей области задания , а лишь на некоторой её части . В этом случае функцию обозначают так

(1.1)

Пример1.1. Запись означает, что можно вычислить значение синуса при любом задании аргумента . Запись означает, что можно вычислить значение синуса только при : .

Рассмотрим некоторые примеры вычисления областей задания некоторых функций.

Обращение в нуль знаменателя запрещено

Например, рациональная функция существует при любых значениях аргумента , кроме значений . При этих значениях знаменатель обращается в нуль и формула, определяющая функцию, теряет смысл. Здесь область определения функции

2. Извлечение корня четной степени имеет смысл только при неотрицательном значении подкоренного выражения (следует из определения корня четной степени).

Например, для функции подкоренное выражение должно

удовлетворять условию . Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем . Для других значений аргумента значение этой функции вычислить невозможно.

Вычисление значений логарифма имеет смысл только при положительном значении его аргумента.

Например, для функции выражение, стоящее под знаком логарифма должно удовлетворять условию . Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем . Для других значений аргумента значение этой функции вычислить невозможно.

Область значений функции

Определение 1.3. Областью значений функции называется множество всех значений, принимаемых переменной , когда аргумент пробегает все значения

из области определения функции . Множество всех значений функции будем обозначать буквой .

Пример 1.2. Найти область значений функции .

Решение. Область значений функции известна . Умножим

обе части неравенств на положительное число 2: и к обеим частям

неравенств прибавим число 3: .

Вывод. Все значения функции принадлежат отрезку .

Пример1.3. Найти область значений функции .

Решение. Все значения функции неотрицательны. Следовательно .

К обеим частям неравенства прибавим число 4: .

Вывод. Все значения функции принадлежат интервалу . .

Графики функций

Определение 1.4. Графиком функции на координатной плоскости ОХУ

назовем геометрическое место точек, имеющих координаты .

Пример1.4. Графиком линейной функции является прямая. Она состоит из точек с координатами рис.1.

Рис.1а рис.1в

На рис.1а , на рис.1в .

Так как ордината любой точки графика есть значение функции , вертикальная прямая

пересекает график функции только в одной точке.

Кривую второго порядка окружность назвать графиком нельзя, так как вертикальная прямая пересекает её в двух точках (рис2а). Кривая, заданная формулой

является графиком (рис.2в)

Рис.2а Рис.2в

Равенство функций

Определение 1.5. Функции называются равными на множестве S,

Если они определены на множестве S и для каждого аргумента справедливо равенство .

Пример1.5. Функции на множестве не равны. Эти же

функции, рассматриваемые на множестве равны, так как и

поэтому .

Определение 1.6. Функция называется ограниченной, если её область значений есть ограниченное множество или .

Например, линейные функции неограниченные функции. Функция из примера3.2 ограниченная функция . Функция из примера3.3 ограничена

сверху , но неограниченна снизу. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

Определение1.7. Число из области задания функции называется нулём функции, если .

Например, числа являются нулями функции (рис.3).

рис.3

Сложная функция или функция от функции

Определение 1.8. Пусть заданы две функции . Если окажется, что область значений функции является частью области задания функции , то мы можем определить новую функцию