править]Формула преобразования скоростей

Достаточно продифференцировать в формуле преобразований Галилея, приведенной выше, и сразу же получится приведенная в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведем более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчета одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчета на вектор ,

где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчета K обозначим за , а в системе отсчета K' — за ,

подразумевая, как всегда в классической механике, что время в обеих системах отсчета одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: .

Тогда в любой момент времени

и в частности, учитывая

,

имеем:

где:

— средняя скорость тела A относительно системы K;

— средняя скорость тела А относительно системы K';

— средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если то средние скорости совпадают с мгновенными:

или короче

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что эти системы движутся поступательно друг относительно друга:

Билет 29

Принцип относительности А. Эйнштейна: все физические явления (механические, оптические, электромагнитные и любые другие) при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО.

 

Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.
В основе СТО лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном.

1. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
   Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к любым инерциальным системам отсчета. Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими).
2. Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света.
   Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон.

В первом постулате главное то, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс и др.

Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли в ранг закона природы: c = const.

Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения. СТО, опираясь на более совершенные данные, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени. Эти свойства необходимо учитывать при скоростях движения, близких к скорости света.

В природе со скоростью света распространяются (в вакууме):

· собственно, видимый свет и другие виды электромагнитного излучения (радиоволны, рентгеновские лучи, гамма-кванты и др.);

· предположительно — гравитационные волны.

Массивные частицы могут иметь скорость, приближающуюся почти вплотную к скорости света, но всё же не достигающую её точно. Например, околосветовую скорость имеют массивные частицы, полученные наускорителе или входящие в состав космических лучей.

В современной физике считается хорошо обоснованным утверждение, что причинное воздействие не может переноситься со скоростью, большей скорости света в вакууме (в том числе посредством переноса такого воздействия каким-либо физическим телом).

Хотя в принципе движение каких-то объектов со скоростью, большей скорости света в вакууме, вполне возможно, однако это могут быть, с современной точки зрения, только такие объекты, которые не могут быть использованы для переноса информации с их движением (например — солнечный зайчик в принципе может двигаться по стене со скоростью большей скорости света, но никак не может быть использован для передачи информации с такой скоростью от одной точки стены к другой)^[4]. (Подробнее см. Сверхсветовое движение, также соответствующий раздел данной статьи ниже).

БИЛЕТ 30

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

· Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике).

· Интервал в теории относительности — аналог расстояния между двумя событиями в пространстве-времени, являющийся обобщением евклидового расстояния между двумя точками. Интервал лоренц-инвариантен, то есть не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, и, даже более, является инвариантом (скаляром) в специальной и общей теории относительности.

· Это свойство интервала делает его фундаментальным понятием, на основе которого может, в соответствии с принципом относительности, быть осуществлена ковариантная формулировка физических законов. В частности, преобразования Лоренца (преобразования координат, включая время, оставляющие неизменной запись всех фундаментальных уравнений физики при замене системы отсчёта) могут быть формально найдены как группа преобразований, сохраняющих интервал инвариантным.

· Инвариантность интервала послужила основой для введения пространства Минковского, в котором смене инерциальных систем отсчёта соответствуют «вращения» этого пространства, что явилось первой явной формулировкой концепции пространства-времени.

Релятивистские инварианты. Закон сохранения энергии-импульса

Определим величины, сохраняющиеся при переходе из одной системы отсчета в другую. Их обычно называются инвариантами. Как отмечалось, 4-импульсу соответствует инвариант

 

Подставляя значение получаем

 

(8.15)

Это соотношение между релятивистской энергией и релятивистским импульсом выполняется как для частицы" так и для тела, и даже для сложной системы, так как при его выводе нигде не использовалась неделимость объекта.

И общем случае в (8.15) под Е следует понимать полную энергию системы, а под - геометрическую сумму импульсов всех частей системы.

Равенство (8.15) можно рассматривать так же как определение инвариантной массы (массы покоя) любой физической системы

 

(8.16)

В частном случае системы отсчета, в которой импульс равен нулю (), имеем

 

(8.17)

Следовательно, масса покоя тела определяет его энергию покоя (во всех ее видах). В релятивистской механике, в отличие от классической, энергия тела всегда положительна.

В другом частном случае, когда масса покоя равна нулю, соотношение (8.15) дает связь между релятивистским импульсом и энергией следующего вида

 

В частности, для для фотона с нулевой массой покоя эта формула преобразуется к виду

 

Весьма необычное свойство инвариантной массы (массы покоя) в теории относительности видно из следующих примеров.

Пример 1. Система состоит из двух одинаковых фотонов, движущихся в одном направлении. Согласно (8.12) масса покоя этой системы равна

,

где - единичный вектор в направлении движения фотонов. Результат достаточно тривиальный: масса покоя каждого фотона равна нулю, и масса покоя системы двух фотонов также равна нулю. Свойство аддитивности массы покоя в этом частном случае соблюдается.

Пример 2. Система состоит из двух одинаковых фотонов, которые движутся в противоположных направлениях. Имеем

Результат не тривиальный. В более общей форме это означает, что электромагнитное излучение общего вида, когда фотоны разлетаются в различных направлениях под различным углами, обладает положительной массой покоя, хотя масса покоя отдельных фотонов и равна нулю. Отсюда также следует, что подобное электромагнитное излучение создает гравитационное поле и, разумеется, само испытывает на себе воздействие со стороны внешнего гравитационного поля.

Вернемся к рассмотрению 4-импульса . Он объединяет релятивистскую энергию с релятивистским импульсом а значит представляет собой некоторую новую (одну единую!) величину, которую можно определить термином энергия-импульс. 4-вектору энергия-импульс соответствует инвариант (8.15), играющий важную роль в атомной и ядерной физике

 

В случае изолированной физической системы эта величина сохраняется не только при переходе от системы отсчета I к системе II, но также сохраняется ее значение как до, так и после реакции, происходящей в физической системе.

Рассмотрим поучительный пример: рождение электрона и позитрона при исчезновении -кванта с участием ядра массы

Требуется определить пороговую (наименьшую) энергию кванта, достаточную для протекания реакции (рис 8.1). Задачу можно решить с помощью использования двух законов сохранения: закона сохранения энергии и закона сохранения импульса (оба - в релятивистской форме) в системе I, связанной с неподвижным ядром.

Рис. 8.1. Рождение пары электрон-позитрон вблизи массивного ядра

Эти уравнения таковы:

 

(8.18)

где скорость системы трех тел (как целого) после реакции. Исключая ее, так как эта скорость нас не интересует, можно найти пороговую энергию

Более простой путь решения - это воспользоваться инвариантом 4-импульса, приравняв его значение до реакции в системе I значению после реакции в системе II. Здесь система I связана с центром неподвижного ядра, а система П - с центром масс неподвижных в этой системе трех тел ядро - электрон - позитрон. Поскольку ищем наименьшую энергию, считаем эти три тела неподвижными в системе II (сама система II вместе с тремя телами движется относительно системы I с некоторой постоянной скоростью, которая нас не интересует).

До реакции в системе I, где Е - это полная сумма энергий, - геометрическая сумма импульсов

 

.

После реакции в системе II

 

Приравниваем правые части этих выражений:

 

и получаем искомую пороговую энергия кванта

 

(8.19)

Заметим, что без пассивного участия ядра подобная реакция невозможна. Действительно, если допустить прямое превращение кванта в пару электрон - позитрон, то законы сохранения импульса и энергии противоречат один другому

 

(значения энергии Е не совпадают).