Закон сохранения импульса.

Если мы имеем механиче­скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направле­ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны т1, m2,..., тn и v1, v2,..., vn. Пусть F'1, F'2,..., F'n — равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a f1, f2,..., Fn — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

d/dt(m1v1)=F'1+F1,

d/dt(m2v2)=F'2+F2,

d/dt)mnvn)= F'n+Fn.

Складывая почленно эти уравнения, получим

d/dt (m1v1+m2v2+... + mnvn) = F'1+F'2+...+ F'n+F1+F2+...+ Fn.

Но так как геометрическая сумма внутрен­них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

d/dt(m1v1+m2v2 +... + mnvn)= F1 + F2+...+ Fn, или

dp/dt=F1+ F2+...+ Fn, (9.1)

где

импульс системы.

Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна гео­метрической сумме внешних сил, действующих на систему.

 

 

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справед­лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона.

Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m_i и r_i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе;

— масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, что p _i =m_i v _i, а

есть импульс р системы, можно написать

p = m v _c, (9.2)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравне­ние (9.1), получим

mdv_c/dt= F ₁+ F ₂+...+ F _n, (9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.

Закон сохранения энергии.

Рассмотрим систему материальных то­чек массами m₁, m ₂ ,..., m_n, движущихся со скоростями v ₁, v ₂,..., v _n. Пусть F '₁, F '₂,..., F ' _n — равнодействующие внутренних кон­сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a f ₁, F ₂,..., F _n— равнодей­ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон­сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма­териальных точек, обозначим f ₁, f ₂,..., f_n. При v<<с массы материальных точек

 

постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соверша­ют перемещения, соответственно равные d r ₁, d r ₂,..., d r _n. Умножим каждое из урав­нений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i = v_idt, получим:

Сложив эти уравнения, получим

Первый член левой части равенства (13.1)

где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член

равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил,

действующих на систему. Таким образом, имеем

d(T+ П )=dA. (13.2)

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами.

Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d(Т+П) = 0,

откуда

Т+П = E=const, (13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохране­ния механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени.

Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.