Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СОВМЕСТНО С УРАВНЕНИЯМИ ПЛАСТИЧНОСТИ

При изучении напряжений были получены уравнения равновесия, показывающие зависимость напряжений от координат, и уравнение пластичности, связывающее напряжение с физическими свойствами тела — сопротивлением деформации σ_т. В общем случае объемного напряженного состояния имеем три уравнения равновесия

Вставка 1.

(1.55) и одно уравнение пластичности (2.8),

Вставка 2

которые содержат шесть неизвестных— три нормальных и три касательных напряжений. Число неизвестных больше числа уравнений. Присоединим к ним шесть уравнений связи между напряжениями и деформациями (1.81)

Вставка 3

и три уравнения неразрывности деформаций (1.58),

Вставка 4

в которых содержатся еще семь неизвестных — три линейных деформации, три деформации сдвига и модуль пластичности второго рода. В результате получаем 13 уравнений с 13 неизвестными.

Вставка

Решение такого уравнения необходимо проводить при условии, что эти уравнения соответствуют виду напряженного состояния деформируемого тела; граничные условия задаются в виде соотношения между нормальными и касательными напряжениями; коэффициент трения принимают постоянным по очагу деформации.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Этот метод в настоящее время широко применяют для расчета усилий и расхода энергии при обработке давлением. Метод основан на следующих положениях:

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским (плоская деформация или плоское напряженное состояние). Поэтому уравнение пластичности принимают в форме, соответствующей указанным видам состояния:

■ для плоской деформации;

■ для плоского напряженного состояния;

■ для осесимметричного напряженного состояния.

При деформации тела сложной формы его условно разделяют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи упрощаются принятием допущения, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря этому остается одно дифференциальное уравнение и вместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напряжения в каждой точке деформируемого тела в отличие от методов совместного решения точных уравнений равновесия с уравнением пластичности.

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на контакте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно.

Рис. 8.3. Схема к определению усилия осадки ма к определению усилия осадки

В учебнике Н.П.Громова рассмотрено применение этого метода на примере осадки полосы шириной 26, высотой 2h, неограниченной длины между плоскими шероховатыми плитами по Е. П. Унксову (рис.8.3). Начало координат расположено на середине ширины и высоты образца. Так как длина образца (размер перпендикулярный плоскости чертежа) неограниченно велика, деформация будет плоской. Вследствие симметрии полосы относительно оси z определяется напряжения для правого сечения.

Выделим в теле бесконечно малый объем плоскостями, параллельными оси z на расстоянии х и х + dx от начала координат; длину этого объема примем

равной единице. На выделенный объем действуют нормальные напряжения , , и касательное напряжение

Согласно второму допущению принимаем, что и σ_х не зависят от координаты z, т. е. постоянны по высоте и зависят только от координаты х.

Касательное напряжение , переменное по ширине и высоте, на контактной поверхности равно — касательному напряжению, обусловленному трением тела об инструмент. Величина уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на средине высоты полосы равна нулю. Принимают, что зависит от высоты полосы линейно, т. е.

Продифференцировав это выражение и подставив значение в уравнение равновесия получаем

(8.5)

Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия выделенного элемента (см. рис. 106). Сумма проекций всех сил, действующих на элементы, на ось х равна нулю, т. е.

Отсюда

(8.6)

Для решения этого дифференциального уравнения (8.6) относительно необходимо:

■ установить связь касательных и нормальных напряжений, например, принять закон Кулона — Амонтона:

(8.7)

и записать уравнение пластичности, которое для плоского деформированного состояния имеет следующий вид:

(8.8)

Е. П. Унксов показал, что если зависит от нормального напряжения , как в нашем случае, при изменении т_к от нуля до 0,7 k для приближенных расчетов можно принять

dσ_x = dσ_z (8.9)

и тогда выражение (8.8) является приближенным.

(8.10)

После разделения переменных и интегрирования находим

Отсюда

Постоянную интегрирования C₁ определим из граничного условия ' (при

х =б ):

Следовательно,

(8.11)

На рис. 107 представлены эпюры , построенные по формуле (6.23), и

(8.12)

По формуле (8.12) можно определить в любой точке контактной поверхности.

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверхности, можно определить полное давление на единицу длины полосы ²:

(8.13)

¹ везде принимаем положительным, а — в данном случае сжимающее, поэтому оно отрицательное.

²Полное и удельное давление принимаем положительными

Разделив полное усилие Р на контактную площадь 2b, получаем удельное усилие (давление)

(8..14)

Из анализа уравнения (8.13) и эпюр напряжений (рис.8.4 или рис. 107) можно сделать вывод, что напряжения трения на оси полосы скачкообразно переходят от положительных значений к отрицательным и эпюра на оси образца имеет резко выраженный пик; как будет показано дальше, это не подтверждается экспериментально. Из эпюр также видно, что контактное напряжение трения (как и ) растет от края полосы к оси по показательной кривой с увеличивающейся интенсивностью и величина касательного напряжения ничем не ограничена; ранее было установлено, что касательное напряжение не может бытьбольше

Е.П.Унксов проанализировал возможный характер распределения нормального напряжения, полного и удельного усилия в зависимости от рода материала и его физического состояния (температуры, степени и скорости деформации, определяемых величиной ) и от параметра , отражающего влияние напряженного состояния, зависящего от соотношения размеров тела и коэффициента трения.

2. При принятом допущении, что контактное касательное напряжение постоянно (закон трения по Зибелю):

. (8.15)

на рис. 8.5 или рис.108 показаны эпюры контактных нормальных и касательных напряжений

Из рис. 108 видно, что в отличие от рис. 107 в данном случае при постоянстве контактного касательного напряжения нормальное напряжение от края полосы к середине изменяется линейно и растет менее интенсивно..

3. При допущении, что контактные касательные напряжения не имеют скачкообразного изменения при переходе через середину полосы и τ_к на контактной поверхности изменяется по линейному закону

(8.16)

где — значение контактного напряжения на краю полосы на рис.109 показан характер распределения нормальных и касательных напряжений

по ширине полосы: нормальное напряжение в этом случае изменяется по параболе и растет от края к середине ширины с меньшей интенсивностью, чем в первых двух рассмотренных случаях; пик на оси г отсутствует.

Применительно к рассматриваемому процессу осадки Е. П. Унксов определил эпюры напряжений различными методами и установил, что в широком диапазоне изменения коэффициентов трения и отношения ширины полосы к толщине форма эпюр имеет куполообразный вид без резко выраженного пика на оси полосы. Касательное напряжение на оси х плавно переходит через нуль. В общем случае эпюры нормальных и касательных напряжений состоят из трех участков (рис. 110). На I участке и растут от точек А и а с повышающейся интенсивностью по кривой, близкой к показательной, до точек В и b. На II участке сохраняет постоянную величину, а растет по прямой до точек С и с. На III участке изменяется по наклонной прямой, проходя через нуль, а изменяется по. параболе, имея максимум на оси полосы.

На основании этого можно сделать вывод, что в периферийном участке I металл скользит по инструменту, контактное касательное напряжение является напряжением трения скольжения и подчиняется закону Кулона — Амонтона. Это отвечает первому допущению из рассмотренных выше при решении упрощенного дифференциального уравнения равновесия

Рис. 110. Экспериментальные эпюры контактных напряжений при плоской осадке свинцовых образцов (Е. П. Унксов)

На рис. 111 представлены эпюры контактных и нормальных напряжений для трех участков (скольжение, торможение и прилипание), построенные по приведенным выше формулам.

Теоретический анализ объясняет форму экспериментальных эпюр контактных касательных и нормальных напряжений при осадке полосы. Эпюры состоят в общем случае из трех участков с различной закономерностьюизменения касательных и нормальных напряжений. На I участке (участок скольжения) касательные напряжения равны произведению коэффициента трения на нормальное давление; на втором участке (участокторможения) касательные напряжения трения постоянны, максимальны и равны ; нормальные напряжения растут по прямой; на III участке (участок прилипания) касательные напряжения уменьшаются линейно до нуля на вертикальной оси полосы; нормальные напряжения изменяются по параболе.

Метод решения упрощенных уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности широко применяют при определении усилий в различных процессах обработки давлением.

Решение этой системы уравнений при известных граничных условиях позволило бы определить напряжения в каждой точке тела и, в частности, на поверхности контакта с инструментом и

тем самым определять полное усилие, потребное для деформации.

Однако, хотя число неизвестных равно числу уравнений, практически эта задача неразрешима из-за большого числа уравнений в частных производных.

Задача упрощается для частных случаев напряженного состояния.

Для осесимметричного напряженного состояния имеем два уравнения равновесия (1.109), одно уравнение пластичности (2.32), четыре уравнения связи между напряжениями и деформациями [которые можно получить из уравнения (1.81) при замене индексов на и на , а также учитывая, что при осесим-метричном напряженном состоянии ] и одно уравнение неразрывности деформаций (1.111). Всего получаем восемь уравнений с восемью неизвестными.

Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний имеем два уравнения равновесия (1.102) и одно уравнение пластичности (2.28) или (2.24), всего три уравнения с тремя неизвестными.

Несмотря на значительные упрощения задачи для осесимметричного и плоского напряженного состояния и плоской деформации, для этих случаев также решено ограниченное число задач [12].

В качестве примера применения метода решения уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности определим внутреннее давление в трубе, при котором все сечение трубы деформируется пластически. Внутренний радиус трубы обозначим через а, наружный через Ь. Деформацию вдоль оси трубы примем равной нулю, т. е. деформация будет плоской.

Напряженное состояние трубы — осесимметричное. Для этого используем уравнение пластичности (2.34) и уравнение равнове-. сия (1.109), учитывая, что

Подставив во второе уравнение (1:109) значение =

из уравнения (2.34), получаем

или

Отсюда радиальное напряжение сжатия на внутренней поверхности трубы (максимальное по абсолютной величине)

(6.1)

Внутреннее давление р по абсолютной величине равно нормальному радиальномудавлению, т. е.

Можно также определить радиальное напряжение в любой точке сечения трубы, интегрируя уравнение равновесия в пределах от Ь до любого значения , Тогда

(6.1а)

Тангенциальное напряжение (растягивающее) на внутренней поверхности трубы

(6.16)

а на наружной поверхности

(6.1в)