Решение дополнительной задачи 1

Постановка задачи

Совхозу установлены закупочные цены и площади посева зерновых культур:

· Пшеница – 1600 га;

· Кукуруза – 2200 га;

· Ячмень – 500 га;

· Рожь – 200 га;

· Просо – 150 га.

Совхоз располагает 4 участками, средняя урожайность культур на них определена для двух уровней затрат.

Культуры	Урожайность на участке, ц/га	Закуп. цены, руб/ц	Затраты средств, руб/га
Пшеница	35/40	25/28	20/25	15/20	6,5	50/80	40/49	40/60	40/95
Кукуруза	60/75	40/50	30/35	50/60	5,0	80/105	90/150	70/80	65/80
Ячмень	30/40	20/27	15/20	15/17	4,3	50/85	40/53	40/70	45/50
Рожь	25/30	30/37	20/23	15/20	7,0	50/60	38/57	45/55	40/57
Просо	40/50	20/28	15/20	10/13	7,2	60/98	50/60	50/90	50/66

 

Размеры участков: соответственно 1200, 2100, 650, 800 га.

Требуется составить оптимальный план посева зерновых культур по участкам. Показать, как изменится решение, если весь второй участок засеять пшеницей с нижним уровнем затрат; ограничена общая сумма затрат.

 

Описание модели

Обозначим через X_ijL площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для нижнего уровня затрат, а через X_ijH – площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для верхнего уровня затрат. Так, выражение X₂₃H=100 будет обозначать, что на 3-м участке отведено 100 га под кукурузу с верхним уровнем затрат.

Обозначим полный урожай i-го вида культуры через G_i.

где U_ijL и U_ijH – урожайность i-го вида культуры на j-м участке.

Тогда прибыль от продажи урожая i-го вида культуры будет составлять:

где P_i – это закупочная цена i-го вида зерна.

Затраты для i-го вида культур:

где R_ijL и R_ijH – это нижний и верхний уровень затрат для i-го вида зерновой культуры на j-м участке.

Теперь у нас есть все необходимые обозначения, чтобы определить критерий задачи: в данном случае нужно максимизировать прибыль (доход минус расход):

Далее нужно ввести ограничения модели. Ограничениями будут являться установленные площади посева и площади участков:

Решение задачи в LINDO

Решение основной задачи

Расчёты будем проводить в пакете LINDO. Для этого приведём описанные выше условия к виду, пригодному для ввода в программу:

Max 177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+133X12H+102.5X13H+35X14H+

220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+63.1X32H+16X33H+23.1X34H+

125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+262X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

ST

!Установленные площади посевов

X11L+X11H+X12L+X12H+X13L+X13H+X14L+X14H=1600

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

X41L+X41H+X42L+X42H+X43L+X43H+X44L+X44H=200

X51L+X51H+X52L+X52H+X53L+X53H+X54L+X54H=150

!Ограничения по площадям участков

X11L+X11H+X21L+X21H+X31L+X31H+X41L+X41H+X51L+X51H<=1200

X12L+X12H+X22L+X22H+X32L+X32H+X42L+X42H+X52L+X52H<=2100

X13L+X13H+X23L+X23H+X33L+X33H+X43L+X43H+X53L+X53H<=650

X14L+X14H+X24L+X24H+X34L+X34H+X44L+X44H+X54L+X54H<=800

End

При этом коэффициенты при X_ijL и X_ijH подставлены в модель уже пересчитанные из начального условия для сокращения модели.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20

 

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

 

1) 814315.0

 

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11L 0.000000 100.000000

X12L 0.000000 10.500000

X13L 0.000000 12.500000

X14L 0.000000 170.000000

X11H 0.000000 97.500000

X12H 1250.000000 0.000000

X13H 350.000000 0.000000

X14H 0.000000 192.500000

X21L 0.000000 50.000000

X22L 0.000000 15.500000

X23L 0.000000 15.000000

X24L 0.000000 35.000000

X21H 1200.000000 0.000000

X22H 0.000000 25.500000

X23H 200.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X31L 0.000000 128.600006

X32L 0.000000 17.100000

X33L 0.000000 8.100000

X34L 0.000000 138.100006

X31H 0.000000 120.599998

X32H 500.000000 0.000000

X33H 0.000000 16.600000

X34H 0.000000 134.500000

X41L 0.000000 221.500000

X42L 0.000000 30.000000

X43L 0.000000 76.500000

X44L 0.000000 231.500000

X41H 0.000000 196.500000

X42H 200.000000 0.000000

X43H 0.000000 65.500000

X44H 0.000000 213.500000

X51L 0.000000 58.099998

X52L 0.000000 47.599998

X53L 0.000000 53.099998

X54L 0.000000 214.100006

X51H 0.000000 24.100000

X52H 150.000000 0.000000

X53H 0.000000 57.099998

X54H 0.000000 208.500000

 

Представим полученное решение в виде таблицы:

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
Пшеница	—			—
Кукуруза		—
Ячмень	—		—	—
Рожь	—		—	—
Просо	—		—	—
Итого

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат.

Решение дополнительной задачи 1

Вводится дополнительное условие: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. В обозначениях данной модели это будет выглядеть так:

X₃₁L=0.

X₃₂L=0.

X₃₁H=0.

X₃₂H=0.

После добавления этого выражения в условие и решения модели получим следующий ответ (нулевые значения опущены):

 

 

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

 

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

 

1) 807940.0

 

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X12H 1600.000000 0.000000

X22L 150.000000 0.000000

X21H 1200.000000 0.000000

X23H 50.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X33L 500.000000 0.000000

X42H 200.000000 0.000000

X52H 150.000000 0.000000

 

Представим полученное решение в виде таблицы:

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
Пшеница
Кукуруза		150
Ячмень			500
Рожь
Просо
Итого

При этом кукурузу на втором участке, а также ячмень на третьем следует сеять при нижнем уровне затрат. В этом решении суммарные затраты на посев меньше, но также меньше прибыль и чистый доход.