Лекція №4. Лінія та пряма на площині

1. Лінії на площині та їх рівняння (полярні, параметричні, векторне)

2. Різні види рівнянь прямої на площині

3. Загальне рівняння прямої та його дослідження

4. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої

1. Лінії на площині та їх рівняння

Рівність (1) називається рівнянням лінії l, яка задана на площині відносно певної системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати x та y кожної точки лінії l і не задовольняють координати x та y жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Лінія, яка задана рівнянням (1) відносно певної системи координату площині, є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють задане рівняння.

Змінні x та y в рівнянні (1) називаються змінними координатами її точок.

Нехай лінія l відносно системи координат визначається рівнянням (1). Якщо вираз є многочленом від x та y, то лінія, що задається цим рівнянням називається алгебраїчною.

Лінія, яка не є алгебраїчною називається трансцендентною.

Найвищий степінь одночлена, що входить до складу алгебраїчного рівняння називається степенем рівняння.

– лінія першого порядку,

– лінія другого порядку.

Рівняння називається рівнянням лінії l в полярних координатах, або полярним рівнянням, якщо його задовольняють полярні координати і будь-якої точки лінії l і не лежить на цій лінії.

– спіраль Архімеда;

– равлик Паскаля

– лемніската Бернуллі

– трипелюсткова роза

Рівняння , де – параметр, називається параметричним рівнянням лінії l.

– циклоїда.

Векторне рівняння лінії: , де – скалярний змінний параметр.

2. Різні види рівнянь прямої на площині

1) – загальне рівняння прямої;

2) – рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до нормального вектора ;

3) – рівняння прямої, що проходить через точку паралельно напрямному вектору (канонічне рівняння прямої);

4) , – параметричні рівняння прямої, що у векторній формі мають вигляд ;

5) – рівняння прямої, що проходить через дві задані точки ;

6) – рівняння прямої у відрізках на осях, де a і b – відрізки, що їх відтинає пряма на координатних осях Ох та Оy відповідно;

7) – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, де – кутовий коефіцієнт прямої, , - величина відрізка, що його відтинає пряма на осі Оy;

8) – рівняння прямої, що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт;

9) – нормальне рівняння прямої, де – довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму, – кут нахилу цього перпендикуляру до осі Ох.

3. Загальне рівняння прямої та його дослідження

Рівняння називається загальним рівнянням прямої на площині, де – координати вектора нормалі до прямої, – вільний член.

1) Рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат;

2) Рівняння або визначає пряму, паралельну Оу;

3) Рівняння або визначає пряму, паралельну Ох;

4) Рівняння або визначає вісь Оу;

5) Рівняння або визначає вісь Ох;

6) Рівняння визначає пряму .

Пряма ділить площину на дві півплощини так, що для координат точок однієї з них справджується нерівність , а для координат іншої – нерівність .

4. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої

Кутом між прямими l₁ і l₂ називається кут , на який треба повернути пряму l₁ (проти годинникової стрілки), щоб вона сумістилась з прямою l₂.

І. Якщо прямі задано канонічними рівняннями , то кут між прямими знаходиться за формулою .

Умова паралельності: .

Умова перпендикулярності: .

ІІ. Якщо прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами , то .

Умова паралельності: .

Умова перпендикулярності: .

ІІІ. Якщо прямі задано загальними рівняннями , то .

Умова паралельності: .

Умова перпендикулярності: .

Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою .