Алгебраические операции с матрицами. Перестановки и подстановки

Лекция 1

1. Матрицы. Алгебраические операции с матрицами

Определение 1. Матрицей A размерности s n называется прямоугольная таблица из s n чисел, состоящая из s строк и n столбцов.

Здесь: - элемент матрицы,

i – номер строки,

j – номер столбца.

 

Обозначения матриц:

 

Пример. - матрица порядка 2 3;

Типы матриц:

1. квадратная матрица;

2. нуль-матрица;

3. ; A – диагональная матрица; элементы главной диагонали;

4. единичная матрица;

5. ;

верхняя треугольная матрица;

6. ;

нижняя треугольная матрица;

 

Пример.

1. - единичная матрица первого порядка;

2. - диагональная матрица;

3. - верхняя треугольная матрица;

Определение 2. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n и выполнено условие , . Тогда матрицы А и В называются равными матрицами.

Обозначение: А=В.

 

Определение 3. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность s n . Суммой матриц А и В называется матрица С размерности s n

такая, что

Обозначение: С=А+В.

 

Определение 4. Произведением матрицы А порядка s n на вещественное число называется матрица С той же размерности .

Обозначение: C= A

 

Пример.

Свойства линейных операций над матрицами

1.А+В=В+А;

2.(А+В)+С=А+(В+С);

3.

4.

5.

 

Определение 5. Разностью матриц А и В порядка s n называется матрица С порядка s n такая, что А= В+С.

Обозначение: С=А-В

Определение 6. Произведением матриц А и В порядка s n и n p соответственно называется матрица С порядка s p такая, что

Обозначение: С=АВ

Замечание. Вообще говоря, . Матрицы А и В, произведение которых обладает свойством АВ=ВА, называются коммутирующими. Например, единичная матрица Е коммутирует со всеми квадратными матрицами соответствующей размерности: АЕ=ЕА=А.

 

Примеры.

1.

1 1

1 3

;

3 1

 

2.

2 2

2 2

2 2

;

 

;

;

;

.

 

Определение 7. Матрица В порядка s n называется транспонированной матрицей А порядка n s , если выполнено Переход от матрицы А к транспонированной матрице называется транспонированием.

Обозначение:

Замечание. При транспонировании матрицы А столбцы матрицы А становятся строками матрицы с теми же номерами.

 

Пример. .

 

2. Перестановки и подстановки. Понятия инверсии и четности

Обозначим М={1,2,…,n} – множество первых n натуральных чисел.

Определение 1. Перестановкой n -го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества М, взятых без пропусков и повторений: где элемент множества М,

Пример. Пусть n =3 => M = {1,2,3}.

Запишем все возможные перестановки 3-го порядка:

Отсюда получим, что существует 6 различных перестановок 3-го порядка. Справедливо следующее утверждение:

Утверждение. Cуществует n! различных перестановок n -го порядка.

 

Определение 2. Элементы и перестановки образуют беспорядок (инверсию) в перестановке, если но при этом .

Число инверсий в перестановке обозначим N

Пример. Найдем число инверсий в перестановке (4 3 1 2). Выпишем пары элементов образующих инверсии:

Отсюда N (4312)=5.

 

Определение 3. Взаимная перестановка элементов , (не обязательно соседних) называется их транспозицией (при этом остальные элементы фиксированы).

 

Определение 4. Перестановка () называется четной (нечетной), если число N () является четным (нечетным).

 

Утверждение. Любая транспозиция элементов меняет четность перестановки.

Доказательство. Справедливость утверждения очевидна для транспозиции соседних элементов. Рассмотрим случай транспозиции несоседних элементов. Такую транспозицию можно выполнить, произведя 2s+1 транспозицию соседних элементов. Четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, окончательно четность изменится.

▲

Определение 5. Подстановкой n -го порядка называется взаимно однозначное отображение множества M ={ 1,2,…,n } самого в себя.

 

Подстановку n -ого порядка запишем в виде

p = .

Эту запись понимаем так: элемент переходит в переходит в . Существует несколько записей одной и той же подстановки.

 

Определение 6. Пусть N(p) = N () + N (). Подстановка p называется четной (нечетной), если N(p) – четное (нечетное) число.

Замечание. Все записи одной и той же подстановки имеют одинаковую четность. Действительно, различные записи подстановки отличаются порядком столбцов. Перестановка двух столбцов состоит из двух транспозиций элементов верхней и нижней строк, при этом четности верхней и нижней перестановок изменятся, следовательно, окончательно четность подстановки не изменится.

 

Пример. Определим четность постановки p = .

Переставим столбцы в подстановке так, чтобы верхняя перестановка имела натуральный порядок (при этом четность перестановки не изменится):

p =

N ()= N (1 2 3 4) + N (4 3 2 1)= 0+ 6 = 6 = N(p).

Подстановка p является четной.