Геометрической вероятности 4 страница

, (3.6)

. (3.7)

Из условий (3.6), (3.7) получаем равенство:

. (3.8)

После замены её значением получим окончательно:

. (3.9)

При построении доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии предполагалось, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. В практических задачах заранее неизвестно какое распределение имеет генеральная совокупность. Тем не менее, можно проверить гипотезу о принадлежности генеральной совокупности (точнее значений её количественного признака) к тому или иному распределению. Рассмотрим критерий согласия Пирсона ( -критерий) – часто применяемый, но далеко не единственный способ проверки нормальности генеральной совокупности по выборке. Прежде всего, согласно этой процедуре по выборке составляют вариационный ряд с некоторой фиксированной длиной интервала . Если в некотором интервале частота мала (), то этот интервал объединяют с соседним. По гипотетическому распределению можно рассчитать теоретические частоты , где – номер интервала, а в случае нормального распределения можно рассчитать по формуле:

. (3.10)

В формуле (3.10) , а – левый конец -го интервала. Чтобы количественно оценить согласованность теоретических и эмпирических частот используют величину (статистику гипотезы), рассчитываемую по формуле:

. (3.11)

В формуле (3.11) означает общее количество интервалов вариационного ряда. Случайная величина имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы . Далее с помощью уровня значимости (эту величину обычно выбирают равной 0,05; 0,01; 0,001) и числа степеней свободы по таблице 4 выбирают границу критической области

. (3.12)

В том случае, если рассчитанное по формуле (3.11) значение входит в критическую область – гипотезу о нормальности генеральной совокупности отвергают. В противном случае гипотеза принимается.

Задача №4

Провести исследование некоторой генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) По формулам (3.1), (3.2) дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

2) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для и , принять (формулы (3.5), (3.9)).

3) Построить вариационный ряд и гистограмму (шаг указан в варианте).

4) При уровне значимости =0,001 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона (формула (3.11)).

Вариант 1

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант 2

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант 3

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

–29

–22

–16

–20

–16

–18

–28

–20

–32

–22

–23

–26

–10

–25

–29

–19

–12

–26

–18

–20

–9

–24

–20

–19

–26

–23

–11

–26

–30

–23

–30

–18

–20

–13

–17

–24

–28

–26

–21

–26

–24

–36

–23

–24

–25

–20

–23

–17

–11

–22

–19

–25

–29

–23

–16

–25

–15

–18

–17

–19

–21

–12

–24

–30

–33

–22

–15

–18

–26

–22

–19

–25

–23

–21

–22

–25

–16

–25

–19

–17

–30

–13

–25

–19

–24

–17

–24

–16

–23

–15

–22

–19

–20

–19

–33

–14

–17

–21

–16

–24

–13

–20

–19

–17

–13

–27

–25

–19

–22

–23

–9

–11

–22

–24

–18

–19

–18

–31

–16

–18

–24

–14

–23

–26

–25

–19

–23

–24

–21

–26

–25

–18

–16

–30

–16

–24

–13

–14

–18

–22

–28

–18

–21

–27

–31

–23

–27

–21

–22

–34

–24

–20

–24

–21

–32

–16

–18

–15

–22

–15

–22

–18

Вариант 4

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант 5

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

–14

–1

–4

–17

–22

–9

–8

–5

–21

–20

–17

–21

–2

–6

–2

–1

–8

–13

–1

–10

–7

–5

–2

–10

–5

–12

–2

–20

–4

–2

–11

–7

–20

–2

–12

–3

–7

–9

–8

–12

–22

–9

–7

–9

–10

–8

–4

–16

–8

–1

–5

–2

–6

–2

–3

–16

–22

–7

–4

–9

–2

–16

–9

–8

–2

–7

–14

–5

–2

Вариант 6

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант 7

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

Вариант 8

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .