Зависимость между моментами инерции

Геометрические характеристики плоских сечений

Основные понятия

площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. На практике легко убедиться, что сопротивление прямых стержней при растяжении (сжатии) пропорционально площади поперечного сечения.

При расчетах же на изгиб, кручение, сложное сопротивление, при расчетах на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений. Знания только площади поперечного сечения стержня при этих видах деформации недостаточно. В этом нетрудно убедиться на практике. На рис. 2.1 видно, что при одной и той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения, стержень по-разному сопротивляется действию одной и той же поперечной силы .

Рис. 2.1

К более сложным геометрическим харак-теристикам сечения отно-сятся: статический мо-мент, осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Эти геометричес-кие характеристики зависят от формы, размеров сечения, от положения осей и точек (полюсов), относи-тельно которых они вычисляются. Статическим момен-том сечения относительно

некоторой оси называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этой оси, т.е.

. (2.1)

Рис. 2.2

Статические моменты выражаются в см³, м³ и т.д. Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

. (2.2) Поэтому

. (2.3)

Из выражения (2.3) видно, что статические моменты фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести этой фигуры, равны нулю. Оси координат, проходящие через центр тяжести фигуры называются центральными осями.

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

. (2.4)

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

. (2.5)

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.

. (2.6)

Моменты инерции имеют размерность см⁴, м⁴и т.д.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, т.к. под интегралом координаты х, у и берутся в квадратах. Полярный момент инерции

(2.7)

равен сумме двух осевых моментов инерции.

Здесь , что следует из рис. 2.2.

Рис. 2.3

Если через какую-либо т. О фигуры (рис. 2.3) провести две системы прямоугольных координат

и определить моменты инерции относительно этих осей, то получим равенство

. (2.8) Это равенство следует из того, что каждая из указанных сумм порознь равна полярному моменту относительно т. О. Центробежный момент инерции берется относительно двух осей.

Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Случай, когда центробежный момент инерции равен нулю, заслуживает особого изучения и будет рассмотрен ниже.

Рис. 2.4

Известно, что интеграл по площади равен сумме интегралов, взятых по отдельным частям, составляющим эту площадь. Поэтому при вычислении моментов инерции (и статических моментов) сложной фигуры относительно какой-либо оси можно последнюю разбить на ряд простых фигур (рис. 2.4) и для каждой из них вычислить мо-

мент инерции относительно этой оси. Тогда момент инерции всей фигуры определится как сумма моментов инерции составных частей:

Аналогично

Замечание: Нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

Зависимость между моментами инерции