Начальный курс математики как учебный предмет

Задачи обучения математике

Обучение математике, так же как и обучение любому другому предмету в школе, должно решать образовательные, воспитательные, развивающие и практические задачи.

Математическое образование – это сложный процесс, основными компонентами которого являются приобретение учащимися определенной системы математических фактов и идей (знаний), овладение определенными математическими умениями и навыками, развитие математического мышления.

Большинство профессий требует определенной математической подготовки. В современных условиях математические знания, владение характерными для математики методами и специфическим языком – обязательный элемент общей культуры.

Изучение математики способствует формированию научного мировоззрения учащихся, воспитанию трудолюбия, дисциплинированности и других важных моральных качеств.

При изучении математики дети учатся видеть связь математики с реальным миром, который окружает ребенка, и с его жизнью. С одной стороны, надо учить детей распознавать в явлениях окружающего мира математические факты. С другой стороны, надо учить применять математические знания в повседневной жизни.

Обучение математике в начальных классах должно обеспечить надежную основу как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, для дальнейшего изучения математики в средней школе.

Содержание и особенности построения начального курса математики

Начальный курс математики является органической частью школьного курса математики. Это значит, что курс математики для 5-11 классов – продолжение начального курса, а начальный курс является его исходной базой. В соответствии с этим начальный курс математики включает следующие разделы: арифметику целых неотрицательных чисел, элементы алгебры и геометрии и изучение некоторых величин.

Начальный курс математики имеет свои особенности построения.

Арифметический материал составляет главное содержание курса и вводится концентрически. Сначала изучается нумерация чисел первого десятка, которые не подлежат десятичному расчленению, вводятся цифры для записи этих чисел, изучаются действия сложения и вычитания.

Затем рассматривается нумерация чисел в пределах 100, раскрывается понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, которые подлежат десятичному расчленению, изучается сложение и вычитание двузначных чисел (устные и письменные приемы), вводятся два новых арифметических действия: умножение и деление.

Далее изучается нумерация чисел в пределах 1000. здесь рассматриваются 3 разряда (единицы, десятки, сотни), составляющие основу нумерации многозначных чисел, обобщаются знания об арифметических действиях, вводятся алгоритмы письменных вычислений.

Наконец, изучается нумерация многозначных чисел, рассматривается понятие класса, обобщается знание принципа поместного значения цифр в записи числа.

Таким образом, в начальном курсе математики выделяются следующие концентры:

	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Концентр (раздел)	Десяток (числа от 1 до 10) Сотня (числа от 11 до 20)	Сотня (числа от 1 до 100)	Сотня (числа от 1 до 100) Тысяча (числа от 1 до 1000)	Тысяча (числа от 1 до 1000) Многозначные числа (числа, которые больше 1000)

Выделение именно таких концентров объясняется особенностями десятичной системы счисления и вычислительных приемов: в каждом концентре раскрываются новые вопросы, связанные с системой счисления и арифметическими действиями.

Положительные моменты такого построения курса:

Обучение начинается с небольшой области чисел, которая постепенно расширяется, постепенно вводятся новые понятия; на уже новом числовом материале отрабатываются изученные законы и правила арифметических действий, тем самым обеспечивается систематическое повторение и углубление изученного материала.

Отрицательные моменты:

Однообразное повторение пройденного и использование однотипных упражнений ведет к потере интереса у детей к изучению математики.

Арифметический материал, элементы алгебры и геометрии, теория величин не выделяются в отдельные разделы. В курсе математики они органично сплетены, причем арифметический материал составляет главное содержание курса. Такая связь дает возможность, с одной стороны, раньше познакомить детей с элементами алгебры, геометрии и величин, а с другой стороны - достичь более высокого уровня усвоения младшими школьниками арифметических знаний.

Схематически концентрическое расположение материала можно представить следующим образом:

(схема!)

Вопросы теории и практики органически связаны между собой. Многие вопросы теории вводятся индуктивно, а на их основе раскрываются вопросы практического характера. Например, введение любого свойства арифметического действия, в частности, распределительное свойство умножения вводится на основе обобщения частных фактов, после чего, используя это свойство, раскрывается прием умножения:

17·3=(10+7) ·3=10·3+7·3=30+21=51

При такой взаимосвязи хорошо усваиваются теоретические вопросы и формируются осознанные практические умения.

Математические понятия, свойства, закономерности раскрываются в их взаимосвязи. Это не только связь между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом и теорией величин, но и так называемые внутренние связи между различными понятиями курса, свойствами, закономерностями. Так, при изучении арифметических действий раскрываются их свойства, связи и зависимости между их компонентами и результатами. Такое построение обеспечивает более глубокое усвоение курса, т.к. учащиеся будут владеть не только отдельными вопросами курса, но и одновременно связями между ними.

Курс математики строится так, что в процессе его изучения каждое понятие получает свое развитие. Например, при изучении арифметических действий сначала раскрывается их конкретный смысл, затем свойства действий, связи и зависимости между компонентами и результатами действий, а также между самими действиями. Такой подход к введению понятий соответствует возрастным возможностям младших школьников, обеспечивает доступность овладения математическим материалом.

Сходные или связанные вопросы рассматриваются в сравнении. В этом случае сразу же можно выделить сходство или различие, а это поможет предотвратить ошибки, которые допускают ученики, смешивая сходные вопросы. Поэтому программа предусматривает сближение во времени изучения некоторых вопросов курса (например, действия сложения и вычитания вводятся одновременно), а также введение новых вопросов в сравнении со сходными, ранее изученными.

Таковы особенности построения начального курса математики. Рассмотрим его содержание и особенности раскрытия главнейших понятий.

Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных множеств. Раскрывается это понятие на конкретных примерах в результате оперирования множествами и в процессе измерения величин (длина отрезка, масса, площадь и др.). При изучении нумерации натуральных чисел это понятие получает дальнейшее развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множества или как член натуральной последовательности. В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа. При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве – в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.

Число 0 трактуется как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение в начальный курс математики числа и цифры 0 позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися областью целых неотрицательных чисел. Нуль как число и как цифра вводится в 1 классе. Сначала 0 рассматривается как цифра, обозначающая начало отмеривания, и при записи числа 10. затем вводится число 0 при выполнении сложения и вычитания, затем умножения и деления (2-2, 0+9, 3·0, 0:4). Цифра 0 используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда или класса в записи числа (70, 300, 204 000).

В целях подготовки к изучению курса математики в средней школе в начальной школе дается представление о дроби. В 3 классе дети изучают доли (равные части величины), учатся сравнивать доли, решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. В 4 классе знания о долях углубляются, школьники учатся их записывать, знакомятся с дробью как суммой равных долей.

Понятие о системе счисления раскрывается при концентрическом построении курса постепенно в процессе изучения нумерации натуральных чисел и арифметических действий над ними. При этом понятия разряда, класса, разрядного числа, как уже указывалось, находят свое развитие от концентра к концентру, т.е. постепенно вводятся новые разряды и классы, их названия, и в связи с этим рассматриваются названия, запись и чтение чисел, их десятичный состав.

Арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Это и раскрытие конкретного смысла арифметических действий, законов и свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий и между самими действиями, а также формирование вычислительных умений и навыков, умений решать арифметические задачи.

Как и другие математические понятия, каждое арифметическое действие раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над множествами: сложение – на основе операции объединения множеств, не имеющих общих элементов; вычитание – на основе операции удаления части множества; умножение – на основе операции объединения множеств одинаковой численности; деление – на основе операции разбиения множества на равночисленные непересекающиеся подмножества.

Одновременно с раскрытием конкретного смысла каждого арифметического действия вводится соответствующая символика (знаки действий) и терминология: название действий, название компонентов и результатов действий.

Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий. Это переместительное свойство сложения и умножения, распределительное свойство умножения и деления, сочетательное свойство сложения и умножения, а также правила: вычитания числа из суммы и суммы из числа, прибавление суммы к сумме и вычитание суммы из суммы, умножение и деление числа на произведение.

Каждое из названных свойств раскрывается на основе практических операций над множествами или над числами, в результате чего ученики должны прийти к обобщению. Для усвоения свойств в курсе предусматривается система специальных упражнений, но главная сфера применения свойств – это раскрытие на их основе вычислительных приемов. Например, уже в 1 классе после изучения переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для случаев вида 2+6; случаю 54-20 предшествует рассмотрение разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего раскрывается вычислительный прием: 54-20=(50+4)-20=(50-20)+4=34.

В тесной связи с изучением арифметического материала вводятся элементы алгебры. Во 2 классе у детей формируется представление о числовом выражении и его значении, о равенствах и неравенствах, изучается порядок действий в выражениях со скобками. В 3 классе вводится буква как символ обозначения переменной. В связи с этим рассматриваются выражения с переменной (буквенные выражения), с двумя переменными, а также неравенства с переменной. Здесь рассматриваются уравнения сначала простейшего вида (х+6=9, 17+х=38), а позднее, уже в 4 классе, более сложные (3 210 –k=665:7).

Геометрический материал служит главным образом для ознакомления с простейшими геометрическими фигурами и развитию пространственных представлений школьников. Поэтому уже в 1 классе изучаются геометрические фигуры: точка, прямая, кривая, отрезок, ломаная, многоугольник и его элементы (вершины, стороны, углы). Во 2 классе знакомятся с прямым углом, прямоугольником и его свойством (противоположные стороны равны), квадратом (частный вид прямоугольника). В 3 классе дети учатся обозначать фигуры буквами, находить периметр многоугольника, прямоугольника (квадрата), площадь прямоугольника (квадрата), знакомятся с видами треугольников (разносторонний, равнобедренный, равносторонний), понятием окружности, круга, центром и радиусом круга. В 4 классе узнают, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, а в квадрате расположены под прямым углом. Здесь же они знакомятся с лучом (числовым лучом), различными видами углов и треугольников (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный). Курс математики предусматривает разнообразные задачи геометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся. Все вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.

В начальной школе происходит знакомство с такими величинами, как длина (см, дм, м, км, мм), масса (кг, г, тонна, центнер), время (час, мин, год, месяц, неделя, сутки, секунда, век), емкость (литр), площадь (см², дм², м², км², мм², ар, гектар). Некоторые величины и зависимости между ними изучаются в процессе решения задач (скорость-время-расстояние, цена-количество-стоимость и др.).

В традиционной системе обучения задачи выступают как упражнения, с помощью которых прежде всего раскрываются многие вопросы начального курса математики. Например, с помощью задач раскрывается конкретный смысл арифметических действий, свойства действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и др.

Математика сегодня — это одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе и компьютерной, требует от индивида определенного минимума математических знаний и представлений.

Существуют различные взгляды на объем и качество этого необходимого для социализации минимума. Проблема создания оптимального курса математики для общеобразовательной школы более чем актуальна.

На сегодняшний день существует не менее пятнадцати учебнике по математике для начальных классов, и почти все они рекомендованы Министерством образования и науки РФ к использованию в учебном процессе.

Последнее десятилетие XX в. характеризуется значимыми изменениями в подходах к определению целей начального математического образования. Эти изменения были порождены сменой --приоритетных целей обучения: их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятельностного подхода [1].

Рассмотрим эти изменения. С этой позиции целесообразным тот курс математики для младших школьников, который

позволял бы средствами данного предмета реализовать идею развивающего обучения, и в то же время обеспечивал усвоение соответствующих знаний и умений, готовил и позволял бы уже с первых шагов творчески использовать их при решении разнообразных задач как практического, так и теоретического характера.

Базовым положением упомянутой выше концепции является положение о том, что начальное звено в системе школьного образования обладает своей собственной непреходящей ценностью, и поэтому обязано предоставить ребенку возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте. Полагая учебную деятельность ведущим видом деятельности в этом возрасте, необходимо при построении системы (содержание, методы, средства, формы организации обучения) предусмотреть возможность самореализации ребенка при изучении конкретного содержания. Иными словами, ребенок младшего школьного возраста должен всегда видеть и понимать применимость своих знаний и умений в значимой для него практической деятельности.

Иными словами, на данном этапе жизни ребенка образовательная система обязана предоставить ему возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте.

В «Концепции непрерывного образования детей дошкольного и младшего школьного возраста» обозначены общие цели:

· воспитание нравственного человека;

· охрана и укрепление физического и психического здоровья детей;

· сохранение и поддержка индивидуальности ребенка, физическое и психическое развитие детей.

Знания, умения и навыки рассматриваются в системе непрерывного образования в качестве важнейшего средства развития ребенка.

В интервью с академиком А.А. Леонтьевым, приведенном после текста «Концепции», особо отмечено то, что «Концепция» не имеет целью обозначать чему и как учить, а призвана обозначить, что именно и развитии ребенка должно обеспечить образование и каким мы ожидаем видеть ребенка на пороге начальной, а затем средней школы.

Поскольку «Концепция» не уходит от содержательной характеристики образования, целесообразнее было бы предположить, что средством развития ребенка должно стать это содержание, а усвоение знаний умений и навыков - следствием достижения ребенком
определенного уровня развития познавательной деятельности.

Применяя свои знания и умения в различных видах значимой для него деятельности, ребенок будет самоутверждаться и самореализовываться как личность. А задача педагога - сделать этот процесс успешным для ребенка, т. е. таким образом организовать условия этой деятельности, чтобы ребенок сумел справиться со всеми ее проблемами, используя свои знания и умения. При этом, чем выше методическое мастерство педагога, тем незаметнее для ребенка становится его помощь в преодолении возникающих трудностей. Именно в этом случае возможно достижение ребенком эмоционального благополучия, стимулирование активности детей в различных видах деятельности, развитие компетентности в сфере отношений к миру, к людям, к себе; будут решаться обозначенные в «Концепции» приоритетные задачи непрерывного образования детей на ступени начальной школы:

· осознанное принятие ценностей здорового образа жизни и регуляция своего поведения в соответствии с ними;

· готовность к активному взаимодействию с окружающим миром (эмоциональная, интеллектуальная, коммуникативная, деловая и др.);

· желание и умение учиться, готовность к образованию в основном звене школы и самообразованию;

· инициативность, самостоятельность, навыки сотрудничества в разных видах деятельности;

· совершенствование достижений дошкольного развития (на протяжении всего начального образования); специальная помощь по развитию несформированных в дошкольном детстве качеств;

· индивидуализация процесса обучения, особенно в случаях опережающего развития или отставания.

С этой точки зрения создание системы непрерывного образования на дошкольной и начальной ступени имеет цель:

· сохранение самоценности каждого возрастного периода развития ребенка;

· формирование у дошкольника готовности к школьному обучению не на содержательном, а на деятельностном уровне, т.е. наличие сформированности умений учиться как фундаментальных новообразований, что обеспечит психологическую готовность ребенка к школе;

· освоение ребенком разных форм взаимодействия с окружающим миром;

· обеспечение индивидуализации процесса обучения и развития ребенка[2].

Все обозначенные выше цели создания системы непрерывного образования на дошкольной и начальной ступени требуют глубокой аналитической исследовательской деятельности от специалистов, разрабатывающих проблему преемственности между дошкольным и начальным звеном, поскольку вопросы формирования умений учиться как психологических новообразований в дошкольном возрасте являются практически не разработанными в теории дошкольного воспитания. Отсутствие преемственности между дошкольным и начальным школьным образовательным звеном в этом вопросе порождает как для ребенка, так и для учителя начальных классов сложнейшую проблему адаптации ребенка к условиям школьного обучения в первом классе. Многие психологи и специалисты коррекционного обучения полагают, что негативные последствия адаптационного стресса могут в дальнейшем оказать влияние на весь процесс обучения ребенка в начальной школе. То же самое можно сказать об уровне разработки одной из сложнейших на сегодняшний день проблем процесса организации обучения — его индивидуализации (как на дошкольном, так и на школьном этапе), особенно в случаях опережающего развития или отставания.

Содержательный объем начального математического образования ребенка определяется не столько количеством (перечнем) понятий и способов действий с ними, определенной программой обучения, сколько той ролью, которую может и должно сыграть это содержание в развитии личности ребенка в этот период. Традиционно учитель всегда был более озабочен процессом формирования знаний и умений младшего школьника. На это нацеливали программы, непременно снабженные перечнями четко обозначенных знаний и умений школьников на всех этапах обучения. На это всегда были негласно ориентированы требования преемственности обучения, понимаемой как наличие, главным образом, предметных знаний и умений школьников при переходе в среднее звено. И сегодня, на вопрос: «Что вы хотите от выпускника начальной школы?» абсолютное большинство предметников-математиков отвечает: «Умения считать, знания таблиц сложения и умножения, письменных алгоритмов действий и умения решать арифметические задачи». К сожалению, могут пройти еще годы и годы, пока новая образовательная парадигма будет осознанна и принята педагогами всех ступеней образования.

Как же на сегодня формулируются цели начального образования в общем и начального математического образования в частности в рассматриваемой Концепции и насколько это соотносится с традиционными требованиями средней школы к уровню математической подготовки выпускника начальной школы?

В Концепции отмечается, что начальное образование имеет свои характерные особенности, резко отличающие его от последующих этапов систематического школьного образования.

Во-первых, это первоначальное формирование учебно-познавательной деятельности детей и, в частности, познавательной мотивации.

Во-вторых, это становление самосознания и самооценки ребенка как субъекта новой для него деятельности («Я — ученик, школьник»).

В-третьих, это особое значение начального образования как базы всего последующего обучения применительно ко всем образовательным областям. Без овладения чтением, письмом, счетом и т. д. невозможно образование на следующих этапах.

В-четвертых, предполагается, что в начальной школе закладываются основы обобщенного и целостного представления о мире, человеке, его творческой деятельности, которые развиваются и дифференцируются в основной школе.

Специфика начальной школы как самоценного звена общей системы образования проявляется и в том, что каждый компонент его содержания способен «обслуживать» различные образовательные области и предметы, их составляющие, вносит свой вклад в развитие ребенка и его подготовку к дальнейшему образованию. Таким образом, содержание начального образования, выполняя одну из важнейших функций — формирование готовности к дальнейшему образованию и самообразованию, — может рассматриваться как пропедевтическое по отношению к содержанию образования в основной школе.

Исходя из сказанного, авторы Концепции считают, что нельзя прямо проецировать в содержание начального образования систему образовательных областей, принятых в основной школе. Применительно к начальной школе целесообразно говорить не об образовательной области, а о введении в образовательную область. Такое уточнение оправданно, так как, во-первых, определяет целевую направленность образования в начальной школе на общее развитие ребенка, во-вторых, подтверждает его непрерывность и преемственность с основной школой, в-третьих, подчеркивает специфику начального образования и необходимость ее учитывать при отборе содержания образования.

Введение в образовательную область (начальная школа)	Образовательная область (основное звено школы)
Словестность Математика Человек и окружающий мир Искусство и художественный труд Физическая культура	Филология Математика Естествознание Обществознание Технология Искусство Технология Физическая культура

В таблице показана предлагаемая в Концепции преемственность между конкретным Введением в образовательную область, предложенным для начальной школы, и конкретной Образовательной областью, изучаемой в основном звене школы. Следует иметь в виду, что пропедевтическая роль каждого компонента начального образования по отношению к другим образовательным областям отражается на уровне содержания образования.

Рассматривая математику как образовательную область, прежде всего следует определить вклад данной образовательной области к развитие умения учиться как основного новообразования младшего школьника в результате его обучения в начальной школе.

Применительно к математическому содержанию формирование умения учиться, помимо рефлексии как центрального механизма лежащего в основе изменений мышления, деятельности, коммуникации и самосознания, предполагает развитие:

· интуитивного и логического мышления и соответствующего им математического языка;

· элементарных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, сериации, классификации и др.);

· умений оперировать знаково-символическими средствами, выражать содержание (объекты, явления, признаки, отношения, действия, преобразования) в разных знаково-символических формах, переходить от одного языка к другому, отделять содержание от формы его представления;

· начал творческой деятельности (пространственного воображения, способов решения задач, представления информации и др.).

В соответствии с этими целями развития проектируется предметное содержание учебной деятельности. Образовательные цели обучения математике младших школьников, достижение которых должно одновременно обеспечить перечисленные цели развития, могут быть сформулированы следующим образом:

1) овладение определенной системой математических понятий и общих способов действий по двум ведущим содержательным линиям: «Число и вычисления» и «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин»;

2) овладение первоначальными представлениями о ведущем математическом методе познания реальной действительности — математическом моделировании;

3) формирование общего умения решать задачи.
Содержательная линия «Число и вычисления» дает учащимся

возможность получить представления о натуральном числе как результате счета и измерения величин, понять особенности построения натурального ряда чисел, освоить принцип позиционной системы записи чисел, овладеть арифметическими действиями с натуральными числами и величинами.

Реализация в обучении второй линии «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин» предоставляет школьникам возможность осознать геометрические формы как образы предметов окружающего мира; познакомиться с различными геометрическими фигурами, открыть некоторые их свойства через преобразование, конструирование, изображение, выполнение простейших дедуктивных умозаключений и измерений.

В процессе освоения данного содержания дети не только получают первоначальные представления о математическом моделировании, о структуре задачи и этапах ее решения, но происходит и развитие их логического мышления, мыслительных процессов, умений оперировать знаково-символическими средствами.

Математика изучается в течение всех четырех лет обучения в начальной школе, в базисном учебном плане она обозначена как часть федерального компонента. Нетрудно заметить, что первая из указанных образовательных целей определяет содержательное наполнение программы, а вторая и третья — характеризуют виды деятельности с математическими понятиями, включенными в программу.

Таким образом важнейшим итогом начальной математической подготовки ребенка является не только и не столько накопление определенного запаса предметных знаний и умений, сколько умственное развитие ребенка, формирование у него необходимых специфических познавательных и умственных умений, которые являются базовыми для успешного усвоения в дальнейшем математического (и любого другого) содержания.

Рассмотренные тенденции изменения взглядов на цели и задачи начального математического образования порождают ряд проблем, которые становятся актуальными как для педагогов-практиков, так и для методической науки. Эти проблемы связаны с разработкой теоретических концепций, лежащих в основе построения обучающих курсов, с отбором их содержания, методов и форм организации деятельности детей в процессе их изучения.