Энергия және толқын қуаты

Негізгі қатынастар. Терең судағы элементарлы толқындар теориясы бірлік тұрақты толқын туралы болжамдарға негізделген. Мұндай толқындағы сұйықтық бөлшектері толқынның таралу бағыты бойынша ауыспалы фазалы шеңберлі орбиталар бойынша қозғалады. Бұл қозғалыстың көлденең жазықтықтағы амплитудасы толқынның жотасы мен ойығы аралығының жартысына тең және тереңдеген сайын экспоненциалды кемиді. Бөлшектердің қозғалысы теңіз тереңдігі болған жағдайда шеңбелі болып қалады. Мұндай тереңдіктерде төмендегі бөлшектердің қозғалысы елемейтіндей төмен болады. Жазықтық деңгейінің орташа қалыпынан с аралығында орналасқан бөлшек үшін бұл шарттар орындалу үшін (12.6- сурет) шеңбер орбитасының радиусы

(12.13)

Беткейдің орташа деңгейінен төмен қалыпы үшін z-теріс шама.

 

 

Сурет-12.6 Сұйықтық қозғалысының элементтері(тереңдіктің артуымен толқын амплитудасының экспоненциалдық кемуі түсінігіне қосымша):

1 — теңіздің орта деңгейі; 2 — терең

 

 

Бірлік ені бар толқын алды бағытымен координаталары (x,z) элементарлы қабат белгілейміз. Бұл қабаттағы көлем элементі:

(12.14)

тығыздығы жағдайындағы масса элементі

dm=pdV—pdxdz.

(12.15)

E_k- х бағытындағы ұзындық бірлігі үшін толқындық қозғалыстың толық кинетикалық энергиясы болсын. Сәйкесінше, ұзындығы үшін толық кинетикалық энергия E_k болып табылады. биіктігі және ұзындығы болатын бұл қабаттың әр элементі тұрақты бұрыштық жылдамдықпен шеңберліқ қозғалыста болады. Шеңберлік орбита радиусы r, ал түзулік жылдамдық (сурет 12.6, б). Әр элементтың толық кинетикалық энергияға қосқан үлесі құрайды, сондай-ақ:

(12.16)

бұдан

(12.17)

ең қарапайым болжам бойынша, бастапқы уақытта мұндай элемент қабатқа қатысты белгілі бір орташа қалыпта орналасады, ал бұл қабаттың барлық басқа элементтері онымен бірге фазаға көлденең z бағытында қоғалып келеді(сурет 12.6, в)

толқындағы шеңберлі орбитаның радиусы (z беткейден төмен болса- теріс) болса, онда (12.17) өрнектейміз:

(12.18)

 

және барлық көлденең қабаттың толық кинетикалық энергиясы тең болады:

(12.19)

 

, болғандықтан ал (12.8)- ден

(12.20)

Осылайша, толқынның таралу бағытымен толқын алдының ені мен ұзындығы бірлігі үшін толық кинетикалық энергия тең:

(12.21)

12.1тапсырмасында көрсетілгендей, дәл осы түрде нормаланған толқынның потенциалды энергиясы дәл осы шамаға тең:

(12.22)

Бұл құрамдық кинетикалық және потенциалдық энергияның теңдігі- гармониялық қозғалыстың сипаты.

Келтірілген нормалау әдісі толқын беткейінің ауданы бірлігіне шаққандағы нормалау болып табылады. Яғни, толқын беткейінің ауданы бірлігінің толық энергиясы кинетикалық және потенциалдық энергияның қосындысына тең:

(12.23)

Егер амплитуданың орташа квадратының квадратты түбірі

екенін ескеретін болсақ, онда

(амплитуданың орташа квадратынан квадрат түбір)²

(12.24)

Толқынның таралу бағытымен толқын алдының ені мен ұзындығы бірлігі үшін энергияны сипаттау үшін келесі түрде жазамыз:

(12.25)

(12.20)- тан , сондықтан

(12.26)

немесе, ,

(12.27)

Толқын қуатын алу. Жоғарыда терең судағы үздіксіз толқындық қозғалыс үшін оның толық (кинетикалық және потенциалдық) энергиясы анықталды. Бұл энергия орта есеппен бір уақытта кеңістікте тұрақты орын алатын сұйықтықпен байланысты. Алайда, келтірілген есептеулер көлденең бөлім арқылы энергия тасмалы туралы ақпар қоспады.

Оқулықтарда бұл қуатты қортындылайтын қысым мен орын ауыстыру болжау үшін динамиканың бірінші заңы арқылы есептеу дәстүрге айналған. қолданбалы математика сұйықтықтардағы толқындардың таралу іргелі теориясына негізделген дәлдік пен нақтылықты қажет етеді. Терең сулардағы толқындар үшін айтарлықтай оңай болған жан-жақты талдаудан ең қажеттілерді алуға тырысайық.

Бірлік элемент немесе сұйықтық бөлігі беткейдің орта деңгейінен төмен орналасып тұр делік.(12.7- сурет). Амплитудасы а және толқындық саны k беткейлік толқын үшін бөліктің беткей асты қабаттағы қозғалыс радиусы белгілі болған сипатта анықталады:

(12.28)

 

Сурет. 12.7. Толқындағы қысымның жергілікті ауытқулары:элементке сұйықтықтың әсері(а) сұйықтық элементінің жергілікті қозғалысы(б):

1 — бөлшектің ағымдағы қалыпы; 2 — орташа қалпы

Көлденең қозғалыс (12.7, б) ортана қалыпынан келесі түрде сипаталады:

(12.29)

бөлшектің жылдамдығының көлденең құрамы келесі қатынас арқылы анықталады:

(12.30)

12.7- суретте көрсетілгендей, х бағытта толқын алды ені бірлігіне толқынмен берілетін қуат, кез-келген уақытта тең:

(12.31)

бұл жердегі - қысымдары ұзындығы элементке бірліктік ені бар, толқын алды бойымен бағытталған әсер етеді. , өз алдына горизонталды бағытта элементпен сарапталып отырған сұйқтығының қысым айырмашылығы. Элементпен беткейдің орта деңгейінен өтуі кезінде нөлге айналмайтын энергияның жалғыз құрамдас бөлігі, шеңберлі орбиталар арқылы бөлшектердің айналу нәтижесінде, потенциалды энергияның өзгеруіне байланысты:

(12.32)

дың орнына (12.29)-ға оның мәндерін қойып отырып:

(12.33)

(12.30) және (12.33) пайдалана отырып, (12.31) өрнегі түрленеді;

'

(12.34)

Бірнеше периодтағы уақыт бойынша орта есепке келтіру арқылы ½ мәніне ие болады, сондықтан

 

 

(12.35)

 

(12.7) сәйкес толқынның фазалық жылдамдығы

 

(12.36)

 

(12.36) ескере отырып, толқынның таралу бағытымен қозғалатын толқын алды ені бірлігіне шаққандағы қуат үшін теңдеу:

(12.37)

 

(12.23) және(12.37) теңдеулерін ескере отырып беткейдегі аудан бірлігін - толқындардың топтық жылдамдығына көбейткенде, толқындағы қуат Р толық энергияға (кинетикалық+потенциалдық) Е тең. Топтық жылдамдық үшін өрнектеуді ескере отырып:

және Ec/2

(12.38)

мұндағы

(12.8)-ден

 

(12.39)

және, осы орайда, фазалық жылдамдық:

 

(12.40)

 

Топтық және толқындық(фазалық) жылдамдықтардың арасындағы айырмашылық барлықфазалық жылдамдығы толқын ұзындығына (дисперсия)байланысты толқындық үдерістер үшін ортақ.

(12.37)-ге (12.40) күйінде фазалық жылдамдықты қоя отырып танымал қатынасты аламыз:

(12.41)

Сондықтан толқындармен тасмалданатын қуат, амплитуда квадратына және периодқа тура пропорционалды артады. Осы себепті, теңіз энергетикасы саласындағы мамандарды үшін ұзақ периодты, жоғары амплитудалы толқынды мұхиттық арналар қызықтырады. Оқырмандар (12.9) пайдалана отырып, толқын ұзындығы тұрғысынан толық қуатты P’ үшін өрнекті анықтау мүмкіндігі беріледі.

Мысал 12.2 Терең судағы толқын ұзақтығы 100 м және амплитудасы 1,5 м болғанда, толқын қуаты қандай болады?

Шешуі: (12.12)-ден мысалы үшін 12.1 с=13 м/с. (12.38) пайдалана отырып, топтық жылдамдықты анықтаймыз:

Амплитудасы 1,5 м (Н=3 м) тол0ындар Атлантика үшін ғажап емес. (12.37) негізінде .

Бұл мысал көрсететіндей, теңіз толқындары жоғары ағымды қуат көзі болып табылады.