Счетность множества рациональных чисел.

Расположим все рациональные числа в таблицу, содержащую бесконечное число строк и столбцов, следующим образом

 

 

Здесь в n-ю строчку помещены рациональные числа, записываемые несократимыми рациональными дробями со знаменателем n и упорядоченные по возрастанию их абсолютных величин, причем непосредственно з каждым положительным числом следует ему противоположное. Очевидно, что каждое рациональное число имеет свое место в этой таблиц.

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме, в которой в кружочках стоят номера соответствующих элементов, а стрелки указывают направление нумерации.

 

В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т. е. множество Q рациональных чисел счетно.

 

 

10.4.Несчетность множества действительных чисел

Несчетность множества действительных чисел докажем в 2 этапа:

1) докажем несчетность точек отрезка [0,1] (диагональная процедура Кантора)

2) эквивалентность множества точек отрезка [0,1] и точек числовой прямой

 

1) Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел а, лежащих на отрезке [0,1]:

 

Здесь a _ij — j-я десятичная цифра числа α_i. Построим дробь

диагональной процедурой Кантора, а именно: за b₁ примем произвольную цифру, не совпадающую с a ₁₁, за b₂ — произвольную цифру, не совпадающую с a ₂₂, и т.д.; вообще, за b_n примем произвольную цифру, не совпадающую с a _nn. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне α_j-х. Действительно, от α₁ дробь β отличается по крайней мере первой цифрой, от α₂ — второй цифрой и т. д.; вообще, так как для всех n, то дробь β отлична от любой из дробей α_i, входящих в перечень α_j-х. Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [0,1], не исчерпывает этого отрезка.

Доказательство 2) оставим в качестве упражнения (см примеры 10.5)

Другой вариант рассуждения п2): Если бы множество R было счетным, счетным было бы и его подмножество [0,1], которое, как мы показали в п.1), является несчетным

 

Мощность множества.

 

Сравнивая те или иные бесконечные множества с множеством натуральных чисел, мы пришли к понятию счетного множества. Ясно, что множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел; установление взаимно однозначного соответствия (биекции) позволяет сравнивать между собой любые два множества. Введем следующее определение.

 

Определение 10.5(1).

Два множества, М и N, называются эквивалентными (обозначение М ~ N), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Понятие эквивалентности применимо к любым множествам как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элементов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом:

 

Определения 10.5(2)

1.Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

2.Множество имеет мощность континуума (множество несчетно), если оно эквивалентно множеству действительных чисел.

 

Очевидно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой; в частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой.

 

Примеры 10.5(2)

1. Множества точек на любых двух отрезках [а, b] и [с, d] эквивалентны между собой. Рис.10.5(1) показывает, как установить между ними биекцию: точки р и q соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки r вспомогательного отрезка ef.

 

Рис. 10.5(1)

 

2. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере. Биекцию можно установить, например, с помощью стереографической проекции (см. рис.10.5(2))

Рис.10.5(2)

 

3.Множество всех чисел в интервале (0,1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции

Напомним, что областью определения функции арктангенс является вся числовая ось, а множеством значений – интервал (-π/2, π/2).

 

4. Как было показано, отрезок [0,1] дает пример несчетного множества. Приведем

некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку [0,1].

1.)Множество всех точек любого отрезка [а, b] или интервала (а, b).

2.)Множество всех точек на прямой.

3.)Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности

сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т.д.

4.)Множество всех прямых на плоскости.

5.)Множество всех непрерывных функций одного или нескольких

переменных.