Решение общего дифференциального уравнения установившегося потенциального одномерного потока. Показатель формы потока

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоско-радиального потока);

3) центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока (уравнение 2.3.) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход жидкости в единицу времени (массовый дебит G) через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом,

r u= G /F(r), ( 3.2)

где F=F(r)- площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:

а) прямолинейно-параллельный поток - F(r)=Bh;

б) плоско-радиальный поток - F(r) =2p h r;

в) радиально-сферический поток - F(r) = 2p r².

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина - эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получим общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

 

(3.3)

 

где А и j имеют значения:

* прямолинейно-параллельный поток - A=Bh, j=0;

* плоско-радиальный поток - A =2p h, j=1;

* радиально-сферический поток - A = 2p, j=2.

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

 

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим

 

, (3.4)

 

где С - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

 

. (3.5)

 

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи:

1. Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G=G₀=const, j = j _к при r=r_к).

Подставляя данные значения в (3.4) получим

 

. (3.6)

 

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита

G=G₀=const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Таким образом,. j = j _с при r=r_c; j = j _кприr=R_к. Подставляя в равенство (3.4) один раз значения R_к и j _к, а другой раз значенияj _с и r_c, исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:

(3.7)

 

где значения А и j приведены выше.

 

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получим

 

(3.8)

 

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит не известен.

В случае плоскорадиального потока (j=1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

(3.9)

 

(3.10)

 

Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

 

Потенциальные функции

 

В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие массовый дебит (3.7, 3.9), распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В тоже время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим определим выражения потенциальной функции для случаев флюидов различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).

. (2.5)