Пространство ресурсов и основные гипотезы

Чтобы производственная функция объективно отражала моделируемую действительность, она должна удовлетворять требованиям:

• в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;
• все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;
• все экономические величины, входящие в ПФ, должны быть измеримы;
• выпуск продукции без затрат невозможен;
• если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;
• увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Поэтому для построения математической модели производственного процесса нам придется принять ряд соглашений, которые мы назовем гипотезами. С одной стороны, они накладывают некоторые ограничения на рассматриваемые производственные процессы, но с другой стороны предоставляют большие возможности при анализе производства, решении различных задач оптимизации и позволяют на основании математических расчетов делать экономические выводы.

Экономико-математические модели, описывающие поведение производителей и потребителей (основных участников реальной экономической деятельности) имеют одну важную общую черту – в их основе лежит гипотеза максимизирующего поведения.

Гипотеза Н⁰ (гипотеза максимизирующего поведения производителя): традиционно предполагается, что производитель из всего множества альтернатив производства выбирает ту, которая принесет ему наилучший результат.

Предположим, что в процессе производства используется n видов ресурсов.

Гипотеза Н¹ (гипотеза измеримости): условимся считать, что каждый ресурс является количественно измеримым.

Принятие гипотезы H¹ означает, что количество ресурсов, затраченных в процессе произ­водства, может быть описано с помощью n-мерного вектора

где x_i – затраченное количество i-го ресурса. Поскольку количество затраченного ресурса – величина заведомо неотрицательная, то и все координаты x_i ≥ 0, i=1,…,n. Выделим множество n-мерных векторов с неотрицательными координатами и обозначим его

Множество Rⁿ⁺ называется пространством ресурсов, а точки этого множества – планами производства по ресурсам.

Любой план производства можно отождествлять как с точкой x, так и с вектором Ox, поскольку они имеют одинаковые координаты (x₁,x₂,…,x_n).

Из гипотезы H¹ следует, что любой план является точкой пространства Rⁿ⁺, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Чтобы это понять, рассмотрим производственный процесс, в котором x₁ – это число станков, а x₂ – это число рабочих. Тогда точка с координатами (1/2, 1/2) не может являться планом производства. Можно легко избежать таких случаев, если измерять ресурсы, например, в отработанных машино-часах и человеко-часах. Тогда мы сможем принять еще одну гипотезу.

Гипотеза H² (гипотеза однородности): каждая точка пространства Rⁿ⁺ может быть отождествлена с некоторым планом производства.

Другими словами, для принятия гипотезы однородности необходимо, чтобы все ресурсы могли использоваться в количестве, измеряемом любым неотрицательным действительным числом.

Таким образом, гипотезы Н¹ и Н² позволяют нам обращаться с планами производства как с векторами, т.е. их можно складывать как вектора и умножать на число. Умножение плана на число означает, что мы увеличиваем ресурсы в k раз, если k> 1, и уменьшаем ресурсы, если 0 < k < 1.

Гипотеза Н³ (гипотеза однозначности): при одинаковых затратах ресурсов производитель выпускает одно и то же количество продукции.

Производственной функцией (где независимые переменные x₁,x₂,…,x_n - количества затраченных ресурсов) называется функция, которая сопоставляет каждому плану по ресурсам значение объема выпускаемой продукции q, максимально возможное при данных ресурсах.

Замечание 1. Мы игнорируем тот факт, что объем выпускаемой продукции q является случайной величиной, то есть при одном плане x=(x₁,x₂,…,x_n) реально может быть выпущено различное количество продукции.

Замечание 2. На практике построение ПФ происходит на основе ограниченного статистического материала. Поэтому функция f(x₁,x₂,…,x_n) удобной аналитической формы будет давать хороший прогноз объема выпуска продукции может быть лишь для планов производства из некоторой области D_f, которой принадлежат наиболее часто реализуемые планы.

Будем считать планы, не принадлежащие области D_f экономически неэффективными. В частности, в область D_f заведомо не входят те планы, которым ПФ ставит в соответствие отрицательные объемы выпускаемой продукции.

Замечание 3. Изменение условий производства, вообще говоря, меняют производственную функцию. Будем использовать производственную функцию только в пределах временного интервала, в течение которого у нас постоянны технология производства товара, производительность используемого оборудования и квалификация рабочей силы.