Між цими двома сумами є тимчасовий простір довжиною t, як це показано на малюнку.

 

Формальне співвідношення між сучасним і майбутнім значенням грошей можна представити за допомогою показника нарощення грошей V(t) і W(t). Використовуючи ці показники запишемо дві основні формули:

1) формула нарощення грошей

, (3.1)

де V(t) – множник нарощення грошей, який завжди більше нуля;

2) формула дисконтування грошей

, (3.2)

де W(t) – множник дисконтування, W(t) < 1.

3.3.2. Елементи теорії відсотків. У процесі нарощення та дисконтування грошей розглядаються наступні чотири взаємозалежних фактори:

1) сучасне значення грошей (PV);

2) майбутнє значення грошей (FV);

3) час, виражений у днях t або кількість періодів n;

4) норма прибутковості (відсоткова ставка).

Характер взаємовідносини між ними визначається способом нарахування прибутковості або як частіше говорять – відсотків. Розрізняють дві схеми нарахування відсотків: прості відсотки та складні відсотки.

Прості відсотки. У схемі простих відсотків нарахування доходу на інвестовану суму грошей здійснюється завжди виходячи з початкової суми інвестицій.

Нехай інвестор розмістив на депозитному рахунку 1000 грн. при відсотковій ставці 40 простих річних відсотків. У випадку, якщо він не буде знімати гроші із свого рахунка, то через рік отримує:

FV = 1000 + 400 = 1400 грн.,

А через два роки

FV = 1000 + 400 + 400 = 1800 грн.

Таким чином, загальна формула нарахування простих відсотків має наступний вид:

(3.3)

У формулі (3.3) n може мати дробове значення, коли мова йде про частину періоду (року), наприклад, якщо банк видав позичку на t днів, а в році 365 днів, тоді

 

. (3.3')

Кредитна угода може проводитися при відсотковій ставці, що змінюється. У цьому випадку використовують решітку відсоткової ставки

n1	n2	n3	…	ni
r1	r2	r3	…	ri

і нарощення проводиться за формулою:

, (3.3")

де N – загальна кількість значень;

n_i – загальна кількість періодів, протягом яких діє відсоткова ставка r _i.

Дисконтування при простих відсотках здійснюється за допомогою формули, яку отримали шляхом обороту (3.3):

. (3.4)

Проілюструємо феномен дисконтування за допомогою наступного прикладу. Ви збирається накопичити 50000 грн. протягом року за допомогою банківського депозиту, що пропонує щомісячне нарахування простих відсотків за місячною відсотковою ставкою 5%. Яку суму необхідно покласти на депозит?

З формули (3.4) випливає

.

 

Нарощення та дисконтування за допомогою дисконтної ставки. У деяких випадках як базу для оцінки прибутковості фінансового інструмента використовується не сучасне, а майбутнє значення. У цьому випадку норма прибутковості називається дисконтною ставкою (а не відсотковою ставкою). Найбільш розповсюдженою областю застосування дисконтної ставки є облік векселів. Суть дисконтної ставки полягає в тому, що дохід інвестора нараховується на суму, що підлягає до оплати наприкінці терміну кредитування, а не на початкову суму.

Формулу для дисконтної ставки отримаємо аналогічно за формулою для відсоткової ставки.

Для відсоткової ставки з формули (3.3) отримаємо:

.

За аналогією визначимо дисконтну ставку d, як наступне відношення:

.

Звідси легко випливає формула для дисконтування у випадку використання дисконтної ставки для схеми простих відсотків.

. (3.5)

Формула для нарощення з використанням дисконтної ставки виходить шляхом обороту формули для дисконтування:

. (3.6)

 

Приклад. Переказний вексель, тратта, виданий на суму 100 тис. грн. з оплатою векселя 25 квітня. Власник векселя урахував його в банку 11 лютого. На цей момент дисконтна ставка по векселях у цьому банку складала 12%. Визначити величину дисконту, яку банк зробив у момент урахування векселя і суму, яку одержав утримувач векселя.

Зіставляючи дати обліку і погашення векселя, визначимо, що до погашення залишилося 73 дні. Таким чином, дисконт за векселем складе:

D = 100000 · 73/ 365 · 0,12 = 2400 грн.,

а власник векселя (тепер уже колишній) отримає:

PV =100000 – 2400 = 97600 грн.

Порівняємо результати дисконтування з використанням облікової і відсоткової ставки. Для цього скористаємося формулою для дисконтування:

,

де множник дисконтування будемо обчислювати наступним способом:

· для відсоткової ставки:

;

· для дисконтної ставки

.

Результати порівняння наведені в таблиці.

N	1/12	¼	½
	0,99174	0,9756	0,9524	0,9091	0,833	0,667	0,5
	0,99167	0,975	0,95	0,9	0,8	0,5

 

При дисконтуванні за допомогою дисконтної ставки виникає методичний парадокс: дисконтоване значення може стати 0 або навіть негативним. На практиці такого не буває, тому що вексель винятково короткостроковий інструмент запозичення.

Складні відсотки. Складним відсотком називається сума доходу, яка утворилася в результаті інвестування грошей за умови, що сума нарахованого простого відсотка не виплачується наприкінці кожного періоду, а приєднується до суми основного внеску й у наступному платіжному періоді сама приносить дохід.

При нормі прибутковості r маємо:

· у перший рік: ;

· у другий рік: і т. д.

Таким чином, загальна формула для нарахування складних відсотків має наступний вид:

. (3.7)

Сьогодення (сучасне) значення вартості визначеної майбутньої суми грошей обчислюється за допомогою формули:

 

. (3.8)

 

Якщо відсоткова ставка змінюється в різні періоди часу, тобто:

 

n			…	n
r	r1	r2	…	rn

 

У цьому випадку формули (3.7) та (3.8) узагальнюються наступним способом:

або

. (3.7')

. (3.8')

Розглянемо співвідношення між показниками нарощення для простих і складних відсотків. За допомогою простих алгебраїчних міркувань неважко установити,

· якщо n < 1 року, то , інвестувати при простих відсотках більш вигідно;

· якщо n ³ 1 року, то , то вигідною для інвестора є схема складних відсотків.

 

Нехай відсотки нараховуються т разів на рік, тоді відсоткова ставка в перерахуванні на період буде дорівнює r/m, а кількість періодів буде дорівнювати nm. Відповідно до вихідної формули (3.3) у цьому випадку нарощення буде обчислюватися за допомогою наступного співвідношення:

. (3.9)

Формула для обчислення теперішньої вартості також приймає наступний узагальнений вид:

. (3.10)

 

Приклад. Що більш вигідно при вкладенні грошей на 2 роки: відсоткова ставка 40% річних при нарахуванні відсотків 2 рази на рік, або ставка 38% річних, що нараховуються 12 разів на рік?

Розрахуємо показник нарощення за допомогою формули (3.9):

;

.

Отже, другий варіант вигідніший.

Для порівняння ефективності вкладення грошей при різній кількості нарахувань відсотків у році вводять поняття ефективної відсоткової ставки: це відсоткова ставка такого вкладення грошей, при якому нарахування відсотків відбувається тільки 1 раз наприкінці року і це рівносильно за кінцевим результатом конкретної схеми нарахування відсотків, для якої визначається ефективна відсоткова ставка.

За визначенням ефективної відсоткової ставки маємо ту саму величину майбутнього значення грошей, отриманих

· при нарахуванні відсотків m разів на рік за номінальною відсотковою ставкою r,

і

· при нарахуванні відсотків один раз на рік при відсотковій ставці r_э:

.

Отже,

;

звідки випливає

. (3.11)

Вплив числа нарахувань відсотків на ефективність інвестування грошей при незмінній річній відсотковій ставці наводиться нижче.

 

M
rэ	30%	32,3%	33,6%	34,5%	35%

 

Нарощення і дисконтування з використанням дисконтної ставки за схемою складних відсотків обчислюється аналогічно але розрахункові формули відрізняються. За допомогою простих міркувань можна довести, що

. (3.12)