Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется для не сгруппиро­ванного вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в вариационный ряд.

Вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

 

М=	∑V
N

М — средняя арифметическая простая,

∑V — сумма вариант,

n — число наблюдений

 

Cредняя арифметическая взвешенная вычисляется для сгруппиро­ванного вариационного ряда по формуле:

 

М=	∑Vp
N

 

М — средняя арифметическая взвешенная,

∑Vp — сумма произведений вариант на их частоты,

n — число наблюдений.

Помимо указанного метода прямого расчета средней арифметической взвешенной, существуют другие методы, в частности, способ моментов при котором несколько упрощены арифметические расчеты.

 

Расчет средней арифметической способом моментов проводится по формуле:

 

М = А +	∑dp
N

А - условная средняя (чаще всего в качестве условной средней берет­ся мода М0)

d - отклонение каждой варианты от условной средней (V-A)

∑dp — сумма произведений отклонений на их частоту.

Порядок вычисления представлен в таблице (за условную среднюю принимаем М0 = 76 ударам в минуту).

 

Определение средней арифметической способом моментов

 

частота пульса V	Р	d (V-A)	dp
		-16	-16
		-14	-28
		-12	-36
		-10	-30
		-8	—24
		-6	-54
		-4	-24
		-2	-14
	n= 54	| ∑dp= -200

 

М = А +	∑dp	=	76+	-200	= 76 -3,7=72,3 (ударов в минуту
N

Среднюю арифметическую можно также рассчитать и по данным се­редины группы. С учетом интервала между группами. Расчет проводим по формуле:

 

М = А +	∑dp	х i
N

где i — интервал между группами.

Порядок вычисления представлен в табл. (за условную среднюю при­нимаем М₀ = 73 ударам в минуту, где i = 3)

Определение средней арифметической способом моментов

 

частота пульса V	середина группы	частота Р	условное от­клонение в интервалах (d)	произведение условного отклонения на частоту (dp)
60-62			-4	-12
63-65			-3	-9
66-68			-2	-12
69-71			-1	-9
72-74
75-77
78-80

n = 54 ∑dp = -13

 

М = А +	∑dp	=	73+	-13*3	= 73 - 0,7=72,3 (ударов в минуту
n

 

Таким образом, полученное значение средней арифметической вели­чины по способу моментов идентично таковому, найденному обычным способом.

Методы оценки разнообразия признака в статистической совокупности

	Разнообразие признака в статистической совокупности
Критерии харак­теризующие границы сово­купности	Лимит	Амплитуд

	Разнообразие признака в статистической совокупности
Критерии харак­теризующие внутреннюю структуру сово­купности	Среднее квадратическое отклонение	коэффициент вариации

	Среднее квадратическое отклонение
Практическое применение среднего квадратического от­клонения	Для опреде­ления типич­ности средней	Для опреде­ления стандартов	Для индиви­дуальной оценки уров­ней (например физического развития)

	Для индиви­дуальной оценки уров­ней (например физического развития
Способы расчета	Среднеарифметический	Способ моментов	По амплитуде

 

 

	коэффициент вариации
Оценки степени разнообразия признака	Cv< 10% слабое разнообразие	Cv =10-20% среднее разнообразие	Сv > 20% сильное разнообразие

 

Средние величины, являясь важными характеристиками статистиче­ской совокупности скрывают индивидуальные значения признака, не пока­зывают величину разнообразия вариационного ряда. Если вариационный ряд компактен, то средняя величина более точно характеризует данную со­вокупность. Если же ряд растянут, отдельные величины существенно от­личаются от средней величины, она является менее типичной.

Следовательно, средняя величина, обычно средняя арифметическая, взятая только сама по себе, имеет ограниченную ценность, т. к. не дает представление о вариабельности, в которой случаи наблюдений распреде­лены вокруг нее.

 

Выделяют следующие критерии разнообразия признака:

 

1. Характеризующие границы совокупности:

лимит (Lim)

амплитуда (Am)

3. Характеризующие внутреннюю структуру совокупности:

- среднее квадратическое отклонение а (сигма малая)

- коэффициент вариации (Cv).