Диференціації та подібності розподілів

Базові поняття та терміни

Побудова рядів розподілу випливає з принципів статистичного групування.

При побудові атрибутивних рядів розподілу варіанти розта­шовуються за логічною послідовністю. В разі використання дискет-них та інтервальних варіаційних рядів варіанти записують за зрос­танням або спаданням варіюючої ознаки.

Розрізняють ряди розподілу з абсолютними, відносними та нагромадженими (кумулятивними) частотами.

Ряди розподілу з абсолютними частотами характеризують склад сукупності, а з відносними - їхню структуру.

Формою розподілу статистичної сукупності прийнято називати криву співвідношення частот І значень варіюючої ознаки.

За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- та багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рів­нями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні.

У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти, а в асиметричному - вершина розпо­ділу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асимет­рія, і навпаки.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, модою і медіаною.

У симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення = Me = Mo.

В асиметричному між ними існують певні розбіжності. При правосторонній асиметрії > Me > Mo, при лівосторонній, навпаки, < Me < Mo.

Асиметрія, як відносна статистична характеристика дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.

Стандартизовані відхилення

або

характеризують напрям і міру скошеності розподілу. В симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А>0, при ліво­сторонній А <0.

Асиметрія та ексцес - це дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексна їх оцінка виконується на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

 

Моменти 3-го і 4-го порядку характеризують відповідно асиметрію та ексцес.

Міра асиметрії — це відносне відхилення, яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу. У симетричному розподілі µ₃ = 0. Чим більша скошеність ряду, тим більше

значення µ₃

Для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів викорис­товується стандартизований момент A_s = µ₃: σ³.

При правосторонній асиметрії коефіцієнт A_s>0, при лівосто­ронній A_S<0. Звідси: правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння - від'ємною.

Вважається, що при A_s<0,25 асиметрія низька, якщо А_S не перевищує 0,5 - середня, при A _s > 0,5 - висока.

Ексцес розподілу - це ступінь зосередженості елементів сукуп­ності навколо центру розподілу.

Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований

момент 4-го порядку E_k =µ₄:σ⁴. У симетричному, близькому до

нормального, розподілі Е_к=3. Очевидно, при гостровершинному розподілі Е_к >3, при плосковершинному Е_к <3.

Оцінка концентрації значень ознаки

Оцінка концентрації значень ознаки ґрунтується на відхи­леннях часток двох розподілів - за кількістю елементів сукупності ф і обсягом значень ознаки Dj.

Коефіцієнт концентрації - це півсума модулів відхилень:

 

Межа коливання коефіцієнта: 0 К 1:

v при К= 0 -рівномірний розподіл;

v при К=1 -повнаконцентрація;

v що більший ступінь концентрації, то більше значення К.

Коефіцієнти концентрації використовуються в регіональному

аналізі для оцінювання рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо.

Коефіцієнт локалізації характеризує співвідношення часток і використовується для оцінювання рівномірності розподілу і варіації різних регіонів:

Інтенсивність структурних зрушень оцінюється за

допомогою середнього лінійного або середнього квадратичного відхилень часток:

де D_i — частки відповідно базисного та поточного періоду;

n - число складових сукупності.

 

Розв'язок типових задач

Задача 1. Наведені такі дані про розподіл робітників підприємства за затратами часу на виготовлення однієї деталі:

Затрати часу на одну деталь, хв.	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
Кількість робітників, %

Визначити:

1. середній розмір затрат часу на одиницю продукції;

2. середнє квадратичне відхилення;

3. моду і медіану;

4. коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

Розв'язок:

Побудуємо розрахункову таблицю:

Таблиця 4.3.

Вихідні показники	Розрахункові показники
Затрати часу на одну деталь, хв.	Кількість робітників % f
1	2	3	4	5	6	7
22-24					-250
24-26					-324
26-28					-34
28-30
30-32
32-34
Разом					-48

1. Середні затрати часу на одну деталь (трудомісткість)

2. Середнє квадратичне відхилення

3. Мода знаходиться в інтервалі від 28 до 30, оскільки цей інтервал має найбільшу частоту – 40 і визначається за формулою:

 

4. Медіана.

Спочатку знаходимо номер медіани за формулою:

тобто медіана знаходиться між номерами 50 і 51. Поступово нагромаджуючи частоти (2+12=14; 14+34=48; 48+40=98), визначаємо, що 50-й і 51-й номери знаходяться у четвертому інтервалі, тобто медіана також знаходиться в інтервалі від 28 до 30.

Далі здійснюємо розрахунок медіани за формулою:

5. Для характеристики форми розподілу визначаємо співвідношення показників центру розподілу:

При такому співвідношенні, коли середня величина менша за моду і медіану, можна зробити висновок, що у розподілі робітників за розміром затрат часу існує лівостороння асиметрія.

Асиметрія, як відносна статистична характеристика, дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.

6. Комплексну оцінку асиметрії та ексцесу виконуємо на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу – це середня арифметична k -го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

Моменти 3-го і 4-го порядку характеризують відповідно асиметрію та ексцес.

звідси коефіцієнт асиметрії дорівнює:

Таким чином має місце незначна лівостороння асиметрія.

При правосторонній асиметрії коефіцієнт , при лівосторонній Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння – від’ємною. Вважається, що при асиметрія низька, якщо не перевищує 0,5 – середня, при - висока.

Ексцес розподілу – це ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центру розподілу.

звідси коефіцієнт ексцесу дорівнює:

Таким чином, Ek>3, що свідчить про наявність гостро вершинного розподілу. У симетричному, близькому до нормального розподілу Ek=3, при плоско вершинному Ek<3.

Задача 2. Наведені такі дані про розподіл підприємств цементної галузі за розміром основних виробничих фондів:

Групи підприємств за розміром основних виробничих фондів, млн. грн.	Кількість підприємств у % до підсумку	Валова продукція у % до підсумку
1-3	4,6	0,6
3-5	13,6	6,2
5-Ю	15,9	9,9
10-20	52,3	59,4
20-30	13,6	23,9
Разом	100,0	100,0

Визначити коефіцієнт концентрації.

Розв'язок:

Оцінка концентрації значень ознаки грунтується на відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності, тобто за кількістю підприємств - d_t і обсягом значень ознаки, тобто випуском продукції - /),-.

Коефіцієнт концентрації — це півсума модулів відхилень:

0,046-0,006=0,04

0,136-0,062=0,074

0,159-0,099=0,06

0,523-0,594=0,071

0,136-0,239=0,103

Межа коливання:

У даному випадку має місце більш-менш рівномірний розподіл. Коефіцієнт концентрації, що дорівнює 0,174, свідчить про досить низький рівень концентрації виробництва продукції у цементній га­лузі промисловості.

 

З А Д А Ч І

6.1. За результатами зимової екзаменаційної сесії студенти І курсу ЛДФА одержали такі оцінки з статистики:

Оцінка	"5"	"4"	"3"	"2"
Кількість студентів

Визначити показники характеристики форми розподілу -коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

 

6.2. За даними про розподіл підприємств галузі за рівнем собівартості продукції визначити характеристики форми розподілу -коефіцієнти асиметрії і ексцесу. Зробити висновки.

№ з/п	Групи підприємств за собівартістю продукції, грн.	Кількість підприємств
	16-18
	18-20
	20-22
	22-24
	24-26
	26-28
	Разом

 

6.3. Статистичні характеристики розподілу робітників двох підпри­ємств за рівнем заробітної плати становили:

Показники	Завод № 1	Завод №2
Середня заробітна плата, гри. Мода рівня заробітної плати, грн. Дисперсія	412,5 415,6	564,8 548,3

Порівняти варіацію та асиметрію розподілу робітників підприємств за рівнем зарплати. Зробити висновки.