Фазовое пространство системы частиц

КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

 

Основные положения

 

Объект – идеальный газ частиц, подчиняющихся классической механике и описываемых уравнениями Гамильтона. Эти уравнения являются законами динамики, выраженными через гамильтониан – полную энергию системы.

Задача – найти статистические распределения частиц общим числом по координатам, импульсам, энергии. Используется метод, разработанный Гиббсом в 1902 г.

 

 

Джозайя Уиллард Гиббс (1839–1903)

 

Основные понятия – микросостояние системы, макросостояние системы, фазовое пространство, функция распределения по фазовому пространству.

Микросостояние системы – совокупность координат и импульсов всех частиц, зафиксированных в один момент времени. Отображается точкой X фазового пространства. С течением времени точка перемещается по этому пространству.

Функция распределения в фазовом пространстве. Чем чаще точка появляется в мысленно выделенном единичном объеме около X, тем больше плотность вероятности , то есть функция распределения.

Статистический интеграл Z – нормировочная постоянная распределения.

Макросостояние системы – состояние газа, описываемое термодинамическими величинами – температурой Т, давлением Р, внутренней энергией U, свободной энергией F и др. Одно макросостояние реализуется множеством разных микросостояний, образующих фазовый ансамбль. Термодинамическая величина, характеризующая макросостояние, получается усреднением по фазовому ансамблю с использованием функции распределения, и выражается через статистический интеграл Z.

 

Фазовое пространство системы частиц

 

Микросостояние системы отображается точкой фазового пространства

,

 

где и – обобщенные координаты и импульсы частицы системы; n – число степеней свободы системы, пропорциональное числу частиц. Число независимых координат фазового пространства равно 2 n. Для каждой системы используется свое фазовое пространство.

Координата частицы газа и ее импульс с течением времени изменяются согласно уравнениям Гамильтона

 

, (2.1а)

 

. (2.1б)

 

Уильям Гамильтон (1805–1865)

 

Гамильтониан – полная энергия системы в виде суммы кинетических и потенциальных энергий всех частиц, выраженная через координаты и импульсы частиц:

,

где

.

 

Для консервативной системы полная энергия сохраняется

 

,

и микросостояния находятся на гиперповерхности фазового пространства.

Уравнения Гамильтона для одномерного движения частицы. Гамильтониан складывается из кинетической и потенциальной энергий

 

.

Из (2.1а) получаем

,

из (2.1б) находим

.

 

Первое уравнение связывает скорость с импульсом и является формулой кинематики, второе – вторым законом Ньютона. Уравнения Гамильтона являются унифицированной формой записи известных уравнений механики.

Число степеней свободы

 

Число степеней свободы системы n равно сумме степеней свободы составляющих частиц. Если есть N одинаковых частиц и у каждой f степеней свободы, то

.

 

Число степеней свободы частицы f есть число независимых координат, определяющих ее положение в пространстве. Изменение координаты означает движение, тогда f – число независимых видов движений.

Атом, рассматриваемый как материальная точка, имеет в трехмерном пространстве координаты (x,y,z) и . Изменение координат дает три независимых поступательных движения вдоль декартовых осей. Вращательные движения не изменяют координат.

Двухатомная молекула. Два атома имеют 6 координат. Если между атомами жесткая связь длиной l, тогда координаты связаны теоремой Пифагора – одним уравнением

 

.

 

Независимыми являются координат. Их изменение дает 3 поступательных и 2 вращательных движения вокруг осей x и z. Вращение вокруг оси y не изменяет координаты атомов.

 

 

Если связь между атомами упругая, то атомы колеблются относительно друг друга, и добавляются 2 степени свободы – кинетическая и потенциальная энергии колебаний, тогда .

N-атомная молекула. Атомы имеют координат, часть из них зависит друг от друга благодаря связям между атомами. Найдем число видов движений.

При число степеней свободы молекулы:

3 степени свободы – поступательные движения вдоль трех декартовых координат;

3 степени свободы – вращения вокруг трех осей координат;

если связи жесткие, то ;

число связей между атомами ;

если связи упругие, то .

Например, для получаем .