Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r

 

,

 

изменяется с течением времени хаотически.

 

Событие – наблюдение определенной концентрации .

 

Проводим N измерений концентрации, результат наблюдается раз, тогда вероятность результата

 

, (1.1)

 

.

 

Зависимость называется функцией распределения вероятности событий.

Несовместимые события А ₁, А ₂,…, А_k не могут произойти одновременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат: или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий. Действительно, выполняется

 

. (1.2)

 

Если (А ₁, А ₂,…, А_k) – полный набор несовместимых событий, то какое-либо одно из них обязательно происходит, тогда выполняется

 

.

С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора несовместимых событий

. (1.3)

 

Пример. Движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения

 

W (влево) + W (вправо) = 1.

 

Если у гамильтониана системы все направления равноправные, тогда

 

W (влево) = W (вправо) = 1/2.

 

Независимые события А1, А2,…, Аk не влияют друг на друга. Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий

 

, (1.4)

 

Для k независимых событий

 

.

 

Пример. В объеме V ₀, все точки которого равноправные, находится частица. Объем V ₀ разбиваем на N одинаковых ячеек объемом . При обследовании всех ячеек, т.е. при измерениях, положительный результат будет только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно (1.1)

 

. (1.4а)

 

Если в V ₀ находится m независимых частиц, то вероятность, что весь газ окажется в объеме V, согласно теореме (1.4) равен

 

. (1.4б)

 

Характеристики случайной дискретной величины

 

Среднее значение величины

Пусть для x возможные значения: x ₁, x ₂, …, x_k.

Измерения проводятся N раз, результат x_i наблюдается N_i раз, тогда

 

.

Среднее значение

 

.

 

При согласно (1.1)

получаем

.

Аналогично

. (1.5)

Среднее значение величины равно сумме произведений ее значений на вероятности этих значений.

 

При получаем и (1.5) дает нормировку вероятностей

 

. (1.6)

 

Свойства среднего

 

Для и независимых случайных величин x и y выполняются теоремы:

1.

– постоянная выносится из под знака усреднения;

 

2.

– среднее от суммы равно сумме средних,

 

3.

– среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних.

 

Доказательство свойства 2

 

Используем определение среднего (1.5)

 

.

Функция описывает распределение случайной величины x и она одинакова для и , тогда

 

;

 

Доказательство свойства 3

 

Используем определение среднего и функцию распределения для независимых случайных величин x и y. Согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий

 

.

Тогда получаем

 

.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Отклонение от среднего

.

 

Среднее отклонение от среднего любой величины равно нулю

 

.