Краткие методические указания к решению задачи 1.8

По пункту 1. Статистические характеристики – , и были рассчитаны обычным способом в задачах 1.2 (по индивидуальным данным) и 1.3 (по групповым данным). Приведем эти результаты расчетов:

 

Виды данных	Показатели
1. Индивидуальные	7465,83	440314,00	2098,00
2. Групповые	7465,83	440314,00	2098,00

 

а) ,

 

где – условный момент 1-го порядка:

– для индивидуальных данных;

– для групповых данных;

i – величина интервала; А – условно заданная величина не равная 0;

 

б)

где – условный момент 2-го порядка

; ;

в) среднеквадратическое отклонение определяется посредством извлечения корня квадратного из дисперсии .

Ниже для иллюстрации приводится последовательность расчетов и полученные результаты, выполненные по индивидуальным данным информационной базовой таблицы.

Примем А = 7500; i = 1000.

Таблица 22

Промежуточная таблица

 

№ п/n	X	X – A	(X – A)/i
		–4260	–4,26	18,1476
		–3300	–3,3	10,89
		–3100	–3,1	9,61
		–2700	–2,7	7,29
		–2500	–2,5	6,25
		–2250	–2,25	5,0625
		–2100	–2,1	4,41
		–1700	–1,7	2,89
		–1050	–1,05	1,1025
		–940	–0,94	0,8836
		–700	–0,7	0,49
		–610	–0,61	0,3721
		–600	–0,6	0,36
		–400	–0,4	0,16
		–285	–0,285	0,081225
		–140	0,14	0,0196
		–600	0,6	0,36
		–750	0,75	0,5625
			1,2	1,44
			1,24	1,5376
			1,26	1,5876

Окончание табл. 22

 

№ п/n	X	X – A	(X – A)/i
			1,4	1,96
			1,4	1,96
			2,1	4,41
			2,18	4,7524
			2,7	7,29
			4,5	20,25
Сумма		–	–1,025	132,129225
Итого	–		–
Итого		–	–17,4218	271,7219

 

Таким образом

;

;

;

и далее ,

где М₁ – центральный момент 1-го порядка; М₂ – центральный момент
2-го порядка

 

; .

 

При проведении расчетов по групповым данным имеем: А = 7672,00 (в качестве А принимается серединное значение дискретного ряда (6845,00+8499,00)/2=7672,00), i = 1500. Последовательность расчетов следующая.

 

 

Таблица 23

№ п/n	Нижние и верхние границы интервалов
	3000–4500	3946,67		–7,45067	18,50414
	4500–6000	5250,00		–8,0733	13,03557
	6000–7500	6845,00		–3,85933	2,12778
	7500–9000	8499,00		+5,51333	3,03396
	9000–10500	9826,17		+4,309333	6,19011
	10500–12000	11750,00		+5,43733	14,78229
Итого	–	–		–4,12333	57,67976

 

S = 1……K; K – число групп,

; .

 

Согласно приведенным формулам получаем:

 

.

Не трудно видеть, что средние величины, рассчитанные по индивидуальным и групповым данным полностью совпали между собой. Между дисперсиями имеется незначительное различие. В общем случае систематическая ошибка в дисперсии или ошибка Ф. Шепарда составляет 1/12 квадрата величины интервала, т.е. скорректированная дисперсия равна σ = (1/12) · i². Ее применение, однако, допустимо при определенных условиях: а) группировка должна формироваться на основе большого числа наблюдений (n>500); б) характеризоваться тесной близостью с осью абсцисс на концах кривой.

По пункту 2 в интервальном вариационном ряду М₀, М_е ДКД рассчитываются по следующим формулам:

 

где М₀ – мода, наиболее часто повторяющееся значение признака; X – нижняя граница значения интервала содержащего моду; i – величина интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным.

 

,

где М_е – медиана, серединное значение признака; Х – нижняя граница значения интервала содержащего медиану; i – величина интервала;
– сумма частот; – сумма накопленных частот предшествующих медианному интервалу; – частота медианного интервала.

Моду и Медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является во всех случаях модальным и его вершины соединяются с вершинами предшествующего и последующего прямоугольников. Абсцисса точек пересечения этих прямых и будет модой ряда распределения.

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для чего из точки на шкале постоянных частот, соответствующей 50% проводится прямая параллельная оси абсцисс до пересечения с асимптотой. Затем из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс и медиана определена

 

ДКД =

где ДКД – децильных коэффициент дифференциации; – 9-я дециль; – 1-я дециль.

Дециль в общем случае делит ранжированный ряд на 10 равных частей. 1-я дециль делит ряд в соотношении 1 и 9, 2-я дециль = 2 и 8 и т.д., а 9-я дециль делит ряд в соотношении 9 и 1.

1-я дециль – это значение признака Х₁ – которое отсекает 10% единиц наблюдения, имеющих наименьшие численные значения признака. 9-я дециль – это значение признака Х₁, которое отсекает 10% единиц наблюдения, имеющих наибольшие численные значения признака.

Расчеты децилей производятся по формулам медианы, с учетом того, что совокупность делится не пополам, а на 10 равных частей в названных соотношениях.

где – нижняя граница интервала группы, содержащую 1-ую дециль,
i-интервал, – сумма частот, – накопленная сумма частот, предшествующая интервалу, содержащая 1-ую дециль; – частота интервала, содержащая 1 дециль.

где – нижняя граница интервала группы, содержащую 9-ую дециль, i-интервал; – сумма частот; – накопленная сумма частот, предшествующая интервалу, содержащая 9-ую дециль; – частота интервала, содержащая 9-ую дециль.

Расчеты по выше приводимым формулам не представляют каких-либо трудностей. Применительно к нашему примеру имеем следующее.

 

Таблица 24

№ п/п	Нижние и верхние границы интервалов	Частота f	Накопленные частоты «Cum f»
	3000–4500 4500–6000 6000–7500 7500–9000 9000–10500 10500–12000
Итого	–		–

 

i = 1500;

 

 

 

Графически мода и медиана представляется следующим образом:

 

 

 

ДКД раза.

 

По пункту 3. Для сравнительного анализа степени ассиметрии изучаемого вариационного ряда рассчитывается относительный показатель ассиметрии:

Величина показателя ассиметрии может быть положительной и отрицательной, что указывает на наличие правосторонней или левосторонней ассиметрии.

Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна 0).

 

Если отношение ассиметрия существенна, если же ассиметрия несущественна, ее наличие может быть определено наличием различных случайных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения. В нормальном распределении отношение

Оценки существенности показателей ассиметрии и эксцесса позволяют сделать вывод о том, что можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения.

Определение вышеназванных коэффициентов предполагает расчет условных моментов 3-го и 4-го порядка.

 

;

и переход центральным моментам 3-го и 4-го порядка. Приведем используемые в статистике формулы перехода от условных моментов к центральным:

 

и далее:

 

Ниже приводится последовательность расчетов и полученные результаты по пункту 3 данной задачи

Таблица 25

№ п/n
		3946,67	–45,9061	114,1344
		5250,00	–210483	33,9861
		6843,00	–1,1781	0,6467
		8499,00	1,6758	0,9239
		9826,67	8,8917	12,7725
		11750,00	40,4218	109,2581
Итого		–	–17,4218	214,7219

 

m₃ = –0,5807; m₄ = 9,0574

M₃ = 698142919,9; M₄ = 4,5341E+13; A₅ = 0,079; E = –0,53.

 

Задача 1.10

Проанализируйте полученные результаты решения, представленные в задачах 1.8, 1.9. Примите гипотезу о нормальном распределении частот рассматриваемого вариационного ряда. Произведите его математическое выравнивание с помощью кривой нормального распределения. Рассчитайте критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова. Сопоставьте полученные результаты с их табличными значениями. Сформулируйте выводы. Изобразите на графике (совместно) эмпирический и теоретический ряды распределения.