В недесяткових системах числення 6 страница

Цю теорему можна сформулювати інакше: якщо до обох частин рівняння з областю визначення Х додати один і той же вираз із змінною, визначене на тій же множині Х, одержимо нове рівняння, рівносильне даному.

Доведення. Позначимо через Т₁ множину розв’язків рівняння (1), а через Т₂ множину розв’язків рівняння (2). Тоді рівняння (1) і (2) будуть рівносильними, якщо Т₁=Т₂. Але щоб переконатися в цьому необхідно показати, що кожен корінь із Т₁ є коренем рівняння (2) і, навпаки, кожен корінь із Т₂ є коренем рівняння (1).

Нехай число а – корінь рівняння (1). Тоді а Т₁ і при підстановці в рівняння (1) перетворює його в істинну числову рівністьf(а) = g(а), а вираз h(x) перетворює в числовий вираз h(а). Додамо до обох частин істинної рівності f(а) = g(а) числовий вираз h(а). Одержимо, істинну числову рівність f(a)+h(a)=g(a)+h(a).

Але ця рівність говорить про те, що число а є також і коренем рівняння (2).

Отже, доведено, що кожен корінь рівняння (1) є коренем і рівняння (2), тобто Т₁ Т₂.

Нехай тепер b – корінь рівняння (2). Тоді b Т₂ і при підстановці в рівняння перетворює його в істинну числову рівність f(b)+h(b)=g(b)+h(b).

Додамо до обох частин цього рівняння числовий вираз - h(b). Одержимо істинну числову рівність f(b)= g(b), яке говорить про те, що число b – корінь рівняння (1).

Тобто, доведено, що кожен корінь рівняння (2) є і коренем рівняння (1), тобто Т₂ Т₁.

Так як Т₁ Т₂ і Т₂ Т₁, то по визначенню рівних множин Т₁=Т₂, а значить, рівняння (1) і (2) рівносильні на множині Х.

При розв’язуванні рівнянь частіше використовується не сама дана теорема, а наслідки із неї:

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне і теж число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо який-небудь доданок (числовий вираз або вираз із змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак додання на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 2. Нехай рівняння f(x) = g(x) задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на тій же множині і не дорівнює нулю ні при яких значеннях х із множини Х. Тоді рівняння f(x) = g(x) і f(x)∙h(x)=g(x)∙h(x) рівносильні на множині Х.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 1.

З теореми 2 випливає наслідок, який часто використовується при розв’язуванні рівнянь:

Якщо обидві частини рівняння помножити (або розділити) на одне і теж число, відмінне від нуля, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Розв’яжемо рівняння , і вияснимо, які теоретичні положення при цьому були використані.

Хід розв’язання	Використані теоретичні положення
1. Зведемо вираз, який знаходиться в лівій і правій частинах рівняння до спільного знаменника:	Виконали тотожне перетворення виразу в лівій частині рівняння, одержали рівняння, рівносильне даному.
2. Відкинемо спільний знаменник: 6-2х=х.	Помножили на 6 обидві частини рівняння (теорема 2), одержали рівняння, рівносильне попередньому і, значить, даному.
3. Вираз – 2х переносимо в праву частину рівняння: 6=х+2х.	Скориставшись наслідком із теореми 1 (або згідно теореми 1 додали до обох частин вираз 2х, визначений для всіх дійсних чисел), одержали рівняння, рівносильне попередньому і, значить, даному.
4. Звели подібні члени в правій частині рівняння: 6=3х.	Виконали тотожне перетворення, одержали рівняння, рівносильне попередньому і, значить, даному.
5. Розділили обидві частини рівняння на 3: х=2.	Скористались наслідком із теореми 2 (або згідно теоремі 2 помножили обидві частини рівняння на ), одержали рівняння, рівносильне попередньому і, значить, даному.

Таким чином, множина розв’язків даного рівняння складається з одного числа .

Візьмемо тепер рівняння х(х-1)=2х, х R. Іноді учні розв’язують його так: ділять обидві частини на х, одержують рівняння х-1=2, звідки знаходять, що х=3, і роблять висновок: - множина розв’язків даного рівняння.

Але чи вірно розв’язане дане рівняння? Чи знайдені всі такі дійсні значення х, які перетворюють рівняння х (х-1)=2х в істинну числову рівність?

Не важко бачити, що при х=0 дане рівняння перетворюється в істинну числову рівність 0∙(0-1)=2∙0. Значить, 0 – корінь даного рівняння. Чому ж виникла втрата цього кореня?

Справа в тому, що рівняння х-1=2 не рівносильне рівнянню 2(х-1)=2х на множині дійсних чисел, так як отримано з останнього множенням на вираз , який визначений не для всіх дійсних чисел (зокрема, при х=0 воно не має змісту), тобто нами не виконано умову теореми 2, що і привело до втрати кореня.

Як правильно розв’язати рівняння х(х-1)=2х? Розглянемо один із можливих варіантів рішення.

Таким чином, множина розв’язків даного рівняння складається із двох чисел 0 і 3, є вигляд .

Зазначимо, що невиконання умов теорем 1 і 2 може привести не тільки до втрати коренів рівнянь, але і до появи так званих сторонніх коренів.

Які корені називаються сторонніми?

Нехай дані два рівняння: f₁(x)=g₁(x) (1) і f₂(x)=g₂(x) (2). Якщо відомо, що всі корені рівняння (1) є коренями рівняння (2), то про рівнянні (2) можна сказати, що воно слідує з рівняння (1). Якщо ж рівняння (2) має корені, які не задовольняють рівняння (1), то вони і будуть сторонніми для рівняння (1). Наприклад, розв’язуючи рівняння , ми звільнюємося від знаменника, помноживши обидві частини рівняння на (х=2) (х-3), і отримуємо 5х-15=0, звідки х=3. Але при х=3 знаменник дробу , перетворюється в нуль, і тому х=3 не може бути коренем даного рівняння, тобто х=3 є для нього стороннім коренем.

Взагалі, якщо при розв’язуванні рівняння його замінюють наслідком (а не рівносильним рівнянням), то треба знайти всі корені рівняння-наслідку, а потім їх перевірити, підставивши в дане рівняння. Сторонні корені відкидають.

Потрібно зауважити, що поява сторонніх коренів менш «небезпечне» явище, чим їх втрата. Тому при розв’язуванні рівнянь необхідно в першу чергу строго слідкувати за правильним використанням теорем про рівносильність.

В початковому курсі математики теоретичною основою розв’язування рівнянь є взаємозв’язок між компонентами і результатами дій. Наприклад, розв’язування рівняння (х∙9):24=3 обґрунтовується слідуючим чином. Так як невідоме знаходиться в діленому, то, щоб знайти ділене, треба дільник помножити на частку: х∙9=24∙3, або х∙9=72. Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник: х=72:9, або х=8. Отже, рішенням даного рівняння є число 8.

9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей

Речення виду 2х+7 >10-х, х²+7х<2, (х+2) (2х-3)>0 називають нерівностями з однією змінною.

Означення. Нехай f(x) і g(x) – два вирази із змінною х і областю визначення Х. Тоді нерівність виду f(x)>g(x) або f(x)<g(x) називається нерівністю з однією змінною.

Значення змінної х із множини Х, при якому нерівність обертається в істинну числову нерівність називається його розв’язком. Знайти множину розв’язків даної нерівності – значить розв’язати цю нерівність.

В шкільному курсі математики розглядаються різноманітні нерівності з однією змінною. Нас будуть цікавити в основному нерівності першого степеня. В основі розв’язування таких нерівностей так як і розв’язування рівнянь, лежить поняття рівносильності і теореми про рівносильність нерівностей.

Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.