Пояснения к поставленной задаче

ГРУППА АТП-21

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Резникова С.А.

Задания на курсовую работу

1. Студенту предлагается выполнить курсовую работу на тему: «Расчет кинематических характеристик движущихся механизмов». В задачах данной работы определяются координаты, скорость, ускорение точки в любой назначенный момент времени при различных способах задания движения.
2. Создать программу на языке Delphi. Результаты оформить в виде таблицы и графиков.
3. Промоделировать движение системы путем графической анимации.
4. Создать проект в среде MathCAD. Результаты оформить в виде таблицы и графиков.
5. Сравнить результаты, полученные в пунктах 2 и 4.

 

Пояснения к поставленной задаче

Из всех способов задания движения точки наибольшее распространение получили координатный и естественный способы.

Рассмотрим вначале координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами в декартовой системе координат. Эти координаты задаются как функции времени:

; ; . (1)

Зависимости (1) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если движение точки происходит в плоскости ху, то задаются только два уравнения движения:

; .

При прямолинейном движении точки достаточно задать одно уравнение движения:

.

если принять, что ось х совпадает с прямой, по которой движется точка.

Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции скорости на оси декартовых координат равны:

; ; .

Модуль скорости

. (2)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

Если движение точки задается в плоскости ху, то ;

;

При прямолинейном движении по оси х:

; .

Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени:

.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции ускорения на координатные оси равны:

; ; .

Модуль ускорения:

. (3)

Направление ускорения определяется направляющими косинусами

Если движение точки задается в плоскости ху, то ; ;

;

При прямолинейном движении по оси х

; .

Далее рассмотрим естественный способ задания движения точки.

Считается, что движение точки задано естественным способом, если указаны ее траектория и закон изменения криволинейной координаты . Уравнение называется законом движения точки по траектории. При этом на траектории указывается начало отсчета, а также положительное направление отсчета координаты s в виде стрелки .

Модуль скорости точки определяется по формуле

. (4)

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную сторону, если .

Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

.

Модуль касательного ускорения определяется по формуле

. (5)

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную, если .

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

, (6)

где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения всегда направлен по главной нормали в сторону центра кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

. (7)

Если движение точки задано координатным способом, то можно определить параметры движения, характерные для естественного способа задания движения.

Так можно, например, по уравнениям движения точки (1) найти уравнение ее траектории в форме зависимости между координатами. Для этого надо из уравнений движения исключить время t. Затем можно найти закон движения точки по траектории , используя формулу (4). Из этой формулы следует, что ; с учетом формулы (2) имеем и . (8)

В законе движения (8) за начало отсчета координаты s принимается начальное положение точки, когда . Знак “плюс” или “минус” перед интегралом ставится в зависимости от выбора положительного направления отсчета координаты s: если движение точки начинается в сторону стрелки , то следует брать знак “плюс”, в противном случае – знак “минус”.

Рассмотрим случай, когда движение точки задается в полярных координатах. Пусть точка М движется все время в одной и той же плоскости. Тогда ее положение можно определить полярными координатами и (рис.1)

Рис.1

 

При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями

, .

Скорость точки численно равна отношению элементарного перемещения к промежутку времени , то есть / . В данном случае перемещение геометрически слагается из радиального перемещения, численно равного , и поперечного перемещения, перпендикулярного радиусу и численно равного . Следовательно, сама скорость будет геометрически складываться из радиальной скорости и поперечной (трансверсальной) скорости , численно равных

, . (9)

Так как и взаимно перпендикулярны, то модуль скорости точки определится по формуле

. (10)

Формулы (9) и (10) определяют скорость точки в полярных координатах при плоском движении.

Ниже приводятся (без вывода) формулы для определения проекций ускорения на радиальное и трансверсальное направления, а также для определения его модуля

, (11)

.

Рассмотрим примеры решения задач.

Алгоритм решения задачи

 

1. Для получения уравнения траектория вида исключить из уравнений движения время t:

2. Построить уравнение траектории

3. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения

4. Определить точки пересечения с осью х и с осью y.

5. Для определения закона движения точки по траектории воспользоваться формулой:

, при ,

6. Определить направление (положительное либо отрицательное), найти S.

7. Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешить относительно функций и возвести полученные результаты в квадрат. Сложить эти уравнения.

Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения.

Определить точки пересечения с осью х и с осью y.

Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , найти S.

Определить время Т прохождения точкой полной окружности, Т – время, по истечении которого s станет равным длине окружности:

2pR=(3p/2)*T

8. Чтобы найти уравнение траектории точки вывести из уравнения время t и возвести полученные результаты в квадрат.

Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений.

Модуль скорости точки определяется по формуле

.

При t=0: Vx=… и Vy=…., тогда V=….

При t=1c: Vx=… и Vy=…, тогда V=…..

Модуль ускорения точки определяется по формуле

 

При t=0: a_x=… a_y=…,тогда a₀=….,

При t=1c: a_x=… a_y=…,тогда a₀=….