Электрическом и магнитных полях

Рассмотрим теперь движение электрона в кольцевом пространстве, заключённом между цилиндрическим катодом К и коаксиальным с ним цилиндрическим анодом А двухэлектродной электронной лампы (рис. 3). Источником электронов служит катод, нагретый до высокой

температуры. Между катодом и анодом создаётся радиальное электрическое поле Е. Лампа помещена внутри соленоида, создающего однородное магнитное поле В, параллельное катоду. Такая конфигурация электрического и магнитного полей подобна конфигурации полей в магнетронах – генераторах мощных электромагнитных колебаний в области сверхвысоких частот (> 10⁹Гц).

Первые эффективно работающие многорезонаторные магнетронные генераторы СВЧ были созданы в 1936–1937 гг. Н.Ф. Алексеевым и Д.Е. Маляровым. В настоящее время область их применения чрезвычайно широка – от мощных радиолокаторов до кухонных СВЧ печей.

Для описания траектории движения электронов в лампе воспользуемся цилиндрической системой координат. Положение электрона определяется расстоянием r от оси катода, полярным углом j и смещением z вдоль оси катода (рис.3). Вектор напряжённости электрического поля в цилиндрическом конденсаторе, образованном катодом и

и анодом лампы

Е = – (9)

где U_A – разность потенциалов (напряжение) между анодом и катодом, r_a – радиус анода, r_к – радиус катода и r – расстояние от оси катода до исследуемой точки.

Вектор кулоновской силы, действующей на электрон, перпендикулярен катоду лампы и направлен по радиусу

F _к = – е Е.

Сила Лоренца, действующая на электрон

F _л = – e [ v, B ],

перпендикулярна вектору B индукции магнитного поля. Электроны, покидающие поверхность катода, под действием этих сил будут совершать движение по траекториям, лежащим в плоскостях (r, j), перпендикулярных оси z катода.

Траектории электронов в цилиндрическом магнетроне имеют сложную форму (рис.4). В отсутствие магнитного поля электроны движутся прямолинейно вдоль радиусов. В слабом поле траектории электронов несколько искривляются. При некотором критическом значении индукции магнитного поля B_кр траектории искривляются настолько, что только касаются анода. Наконец, при B>B_кр электроны не достигают анода и возвращаются на катод.

Как видно на рис.4, электрон одновременно участвует в двух видах движения: вдоль радиуса со скоростью

 

v_r =

и вращательном движении с угловой скоростью

w = .

Вектор ω параллелен вектору индукции магнитного поля B и направлен вдоль оси z введённой цилиндрической системы координат.

Для описания движения электрона в плоскости (r, j) используем основное уравнение динамики: скорость изменения момента импульса электрона равна моменту действующей на него силы:

(10)

Момент импульса электрона

L = J ω, (11)

где J=mr² – момент инерции электрона относительно оси z. Момент силы, действующей на электрон

M =[ rF ]. (12)

Сила F является равнодействующей сил Лоренца и Кулона (рис.5):

F = F _л + F _к = – e [ vB ] – e E. (13)

Подставим (13) в (12):

M = – e [ r [ vB ]] – e [ rE ].

Векторное произведение [ rE ] =0, так как векторы r и E параллельны.

 

Двойное векторное произведение преобразуем в соответствии с формулой [ a [ bc ]] = b (ac) – c (ab):

M = – e [ r [ B ]] = – e (rB)+ e B (r ). (14)

Первое скалярное произведение (rB) = 0, поскольку векторы r и B взаимно ортогональны. Подставим (11) и (14) в формулу (10)

(mr² ω) ₌ e B (r ).

Учитывая, что скалярное произведение

(r ) = = ,

получим:

(mr² ω) ₌

или в проекции на ось z:

(mr²w – ) = 0.

Выражение в скобках является величиной постоянной, не зависящей от t:

mr²w – = c. (15)

Постоянную интегрирования с найдём из начального условия: в момент вылета электрона с катода r=r_к и w= 0:

c = – .

Из (15) следует, что угловая скорость электрона возрастает по мере его удаления от катода

w = . (16)

Для нахождения линейной скорости электрона v используем закон сохранения энергии. При перемещении от катода до точки с потенциалом U он приобретает скорость (см. выражение (1)):

v = (17)

(начальной скоростью электрона в момент его выхода из катода пренебрегаем, поскольку энергия теплового движения электронов при температуре катода Е ≈1000К составляет kT =1,38∙10^-23Дж∙К^-1∙1000К= =1,38∙10^-20Дж ≈ 0,1эВ).

Теперь найдём критическое значение индукции магнитного поля B_кр. Скорость электрона в точке касания его траектории с поверхностью анода

v_а = r = r_aw_a. (18)

Подставляя в это уравнение выражения (16) и (17) и возведя в квадрат, получим:

2 U_a = ( B_кр )².

Отсюда:

= . (19)

Формула (19) позволяет вычислять величину отношения , если при заданном U_a найдено такое значение магнитного поля B_кр (или, наоборот, при заданном B такое значение U_aкр), при котором электроны перестают попадать на анод:

. (20)

Характеристика магнетрона, показывающая зависимость анодного тока от индукции магнитного поля в идеальном случае имеет вид,

показанный на рис.6 пунктирной линией. При B<B_кр все электроны без исключения попадают на анод, величина тока I_a постоянна и не зависит от B. При B>B_кр все электроны возвращаются на катод, не достигнув поверхности анода.

В реальной лампе невозможно обеспечить полную коаксиальность анода и катода, а также идеальную однородность электрического поля и параллельность вектора индукции магнитного поля с осью катода. Кроме того, электроны, испускаемые нагретым катодом, обладают различными начальными скоростями. Распределение скоростей теплового движения электронов, также как и молекул газа, примерно подчиняется закону распределения Максвелла. Все эти причины при- водят к тому, что практически получаемые характеристики I_a = I_a(B)

(сплошная линия на рис.6) не имеют такой крутой падающей части, как у идеальной характеристики.