Средняя квадратическая. Взаимосвязь степенных срених величин

 

Средняя квадратическая – простая и взвешенная.

(4.13)

(4.14)

Пример: имеются 3 земельных участка в форме квадрата со сторонами:

X1= 100 м;

Х2= 200 м;

Х3= 300 м.

Определить среднюю величину стороны земельных участков. Если примем формулу средней арифметической, то получим, что общая площадь всех участков составляет 120 000 м², что не соответствует действительности (реальная площадь 3-х участков равна 140 000 м²:

,

т.к:

Для правильного расчета следует использовать формулу средней квадратической простой:

 

 

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей общей формулы:

(4.15)

 

где при: k = –1 – получается средняя гармоническая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = 1 – средняя арифметическая;

k = 2 – средняя квадратическая;

k = 3 – средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место следующая зависимость (для одного ряда распределения):

(4.16)

Мода и медиана

Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта распределения или варианта, имеющая наибольшую частоту.

Для дискретных радов мода определяется визуально.

Пример: определить моду следующего ряда распределения.

 

Таблица 4.10 – Данные о проданных парах обуви, ед.

Размер обуви (х)	Число проданных пар (f)	Накопленные частоты (cum f)
		12 (2 + 10)
		32 (12 + 20)
37	88	120 (32 + 88)
		139 (120 + 19)
		148 (139 + 9)
		150 (148 + 2)
Итого	150	–

 

Модой является размер 37, т.е. наибольшее число проданной обуви было 37-го размера.

 

Мода интервального ряда определяется по следующей формуле:

(4.17)

где: х₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

f_m0 – частота модального интервала;

f_m0-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_m0+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Пример: определить моду следующего ряда распределения:

Таблица 4.12 Распределение работников предприятия по стажу в 2012 г.

Стаж работы, лет (x)	Число работников (f)	Накопленные частоты (cum f)
до 2 2–4 4–6 6–8 8–10 свыше 10
Итого	100	–

Ответ: наибольшее число работников имеет стаж работы 6,76 лет.

Медиана (М_e) – это варианта, которая приходится на середину ряда распределения, расположенного в порядке возрастания признаков. Она делит ряд распределения на 2 равные части.

Определение медианы для дискретного ряда распределения.

Медианой дискретного ряда является варианта, которая приходится на полусумму накопленных частот:

(4.18)

В нашем примере размер обуви 37 является также и медианой, т.е. половина проданной обуви меньше 37-го размера, другая половина – 37-го размера и больше.

 

Для интервального ряда Ме определяется по формуле:

(4.19)

где х0 – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

– полусумма накопленных частот;

– сумма накопленных частот, интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

Медианный – это интервал, на который приходится полусумма накопленных частот. В нашем примере «6–8 лет» – медианный интервал.

Это означает, что половина работников имеет стаж работы меньше 6,2 года, а другая половина больше.

 

Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключается сущность статистической обработки методом средней величины?

2. Перечислите основные положения теории средних величин.

3. В каких случаях применяется средняя арифметическая простая? В чем ее отличие от средней арифметической взвешенной?

4. Какие свойства средних величин Вы знаете? Для чего они применяются?

5. Назовите виды средних степенных величин и напишите формулу степенной средней.

6. Какая зависимость существует между степенными средними величинами для одного ряда распределения?

7. Являются ли мода и медиана средними величинами и почему?

8. Как определить моду и медиану для дискретного ряда?

9. Что такое модальный и медианный интервалы? Могут ли они совпадать?

5. Изучение ВАРИАЦИи рядов распределения

Понятие вариации

Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.

Вариация – это колебание признака в ряде распределения.

Рассмотрим 2 ряда чисел:

1) 75, 90, 78, 82, 93, 86

2) 65, 122, 84, 70, 105, 58

Разности следует освободить от знака для построения показателей вариации. Для этого нужно взять моду или четную степень. На этом принципе основано построение основных показателей вариации.