Тема 2.2. Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНАМ

1-ый семестр

Раздел 1. Начала анализа

Тема 1.1. Функции одной переменной

Понятие множества. Примеры операций над множествами.

Числовые множества. Свойства операций.

Числовая прямая и множества на ней. Определения. Грани числовых множеств.

Функция одной переменной. Определение, область допустимых значений, область определения, способы задания (примеры).

Основные свойства функций: четность, монотонность, ограниченность, периодичность.

Основные элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические. Их свойства и графики.

Классификация функций. Явные, неявные, сложные, элементарные. Классификация элементарных функций. Преобразование графиков.

Применение функций в экономике.

Тема 1.2. Пределы и непрерывность.

Предел последовательности. Определение последовательности, предела последовательности, геометрическое толкование. Монотонные последовательности, теоремы о сходящихся и монотонных последовательностях, основные теоремы о пределах последовательности (примеры).

Предел функции. Определение в точке и на бесконечности. Бесконечно малые величины. Основные теоремы о пределах функции. Соотношения бесконечно малых, свойства. Бесконечно большие величины, свойства. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Первый и второй замечательные пределы (примеры). Вычисление по непрерывным процентам.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Классификация точек разрыва функции.

Тема 1.3. Уравнение линии.

Уравнение линии I-го порядка на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, через две точки. Уравнение прямой в отрезках на осях. Общее уравнение прямой. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Эллипс. Определение, вывод канонического уравнения, эксцентриситет.

Гипербола. Определение, вывод канонического уравнения, эксцентриситет.

Парабола. Определение, вывод канонического уравнения, эксцентриситет.

Плоскость в пространстве. Уравнение. Параллельность и перпендикулярность плоскостей.

Прямая в пространстве. Каноническое уравнение. Параллельность и перпендикулярность прямых.

Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной.

Тема 2.1. Производная.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический, механический смысл, экономическая интерпретация.

Вывод производной основных элементарных функций, правила дифференцирования. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Производная сложной функции, заданной неявно, логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Применение дифференциалов функции. Геометрический смысл дифференциала.

Тема 2.2. Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления.

21. Правило Лопиталя (случай ). Формула Тейлора, Маклорена.

22. Монотонность, экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Определение экстремума функции. Необходимое условие гладкого экстремума. Достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Примеры на экономическое содержание. Наибольшее и наименьшее значения функции.

23. Выпуклость графика функции. Определение. Необходимое и достаточное условия выпуклости. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.

24. Асимптоты графика функции. Определение. Вертикальные, наклонные асимптоты. Алгоритм нахождения наклонных асимптот.

25. Схема исследования функции (пример).