Показатели вариации признака.

Мода и медиана.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где: — значение моды, — нижняя граница модального интервала, — величина интервала, — частота модального интервала, — частота интервала, предшествующего модальному, — частота интервала, следующего за модальным.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда). При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где: — искомая медиана, — нижняя граница интервала, который содержит медиану, — величина интервала, — сумма частот или число членов ряда, - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному, — частота медианного интервала.

Показатели вариации признака.

Вариация – различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. К показателям вариации относятся: абсолютные показатели вариации ( размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) и относительные показатели вариации (коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение). Абсолютные показатели:

Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака . Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая абсолютных значений отклонений (модуль отклонений) отдельных вариантов от их средней арифметической:

и

Дисперсия признака – средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий: и

Cвойства дисперсии:

1. если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А- дисперсия не изменится;

2. если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится или увеличится в k ² раз.

3. способ моментов

4.

Дисперсия альтернативного признака. p – признак (доля единиц, обладающих к-л признаком), q – доля единиц, не обладающих этим признаком. P+q = 100%

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются отдельные варианты от их среднего значения. .

Относительные показатели:

Коэффициент вариации - отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, применяется для сравнения вариаций различных признаков, используется как характеристика однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации составляет 30 - 33%.

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений (модуль отклонений) от средней величины.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг общей средней.