Свойства средней арифметической

Метод исчисления средней арифметической обладает рядом математических свойств, которые используются в статистике для упрощения техники расчетов. Важнейшие из этих свойств следующие:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты средней:

(6.5)

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна 0:

(6.6)

Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится на ту же величину

(6.7)

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

(6.8)

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(6.9)

Объединяя свойства средней арифметической, можно исчислить ее с помощью способа моментов:

(6.10)

где А – серединная варианта ряда с наибольшей частотой;

h – величина интервала ряда распределения;

е – произвольная величина.

Пример. Имеются следующие данные о времени горения электроламп для лампового завода (табл. 6.1). Необходимо рассчитать среднее время горения электроламп по способу моментов.

Таблица. 6.1

Группы электроламп по времени горения, час	Число электроламп, fi	xi	xi-А= xi-1300
800-1000			-400	-2			-4
1000-1200			-200	-1			-8
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Итого

А – середина интервала с наибольшей частотой f_i=160;

h – величина интервала.

Решение. По формуле (6.10) рассчитываем среднее время горения:

часов.

Средняя гармоническая применяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то при n вариантах формула средней гармонической имеет вид

(6.11)

Формула средней гармонической взвешенной следующая:

(6.12)

Пример. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по 3-м заводам характеризуются следующими данными (см. таблицу).

Номер завода	Издержки производства, у.д.е.	Себестоимость единицы продукции, у.д.е.

Исчислить среднюю себестоимость по 3-м заводам:

Средняя геометрическая применяется для расчетов средних темпов за определенный период, т.е. тогда, когда определяющий показатель (величина, определяющая вид средней) является не суммой значений, а их произведением:

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осреднять величины в виде квадратных функций (например, при расчетах диаметра труб, стволов); в статистике используется как мера вариации. Рассчитывается по формулам:

(простая); (6.15)

(взвешенная). (6.16)

Как было отмечено, применение той или иной средней величины зависит от сущности явления и исходной информации. Между средними существует следующее соотношение, названное правилом мажорантности средних:

18. Структурные средние величины. Мода и медиана

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М_о) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

 

где х_о – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f_m – частота модального интервала;

f_{т —1} – частота интервала, предшествующего модальному;

f_{m +1} – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (M_e – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

 

где х_ме – нижняя граница медианного интервала;

i_Me – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

S_{Me —1} – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.