Вывод: график зависимости совместного изменения двух изучаемых параметров показывает наличие взаимосвязи, которая приближенно оценивается как линейная.

в) Вычисление (таблица 34) и оценка коэффициента корреляции методом Пирсона.

 

Таблица 34

Вычисление отклонений вариант от средней арифметической

Варианта №	Температура воздуха (x)	Запыленность мг/м3 (y)	dx=x-Mx	dy=y-My	dx*dy	dx2	dy2
		0,07	-2,2	-0,153	0,330	4,7	0,0233
		0,08	-2,2	-0,143	0,309	4,7	0,0203
		0,08	-2,2	-0,143	0,309	4,7	0,0203
		0,2	-1,2	-0,023	0,026	1,4	0,0005
		0,24	-0,2	0,018	-0,003	0,0	0,0003
		0,25	-0,2	0,028	-0,005	0,0	0,0008
		0,26	-0,2	0,038	-0,006	0,0	0,0014
		0,27	-0,2	0,048	-0,008	0,0	0,0023
		0,3	0,8	0,078	0,065	0,7	0,0060
		0,28	0,8	0,058	0,048	0,7	0,0033
		0,31	2,8	0,088	0,248	8,0	0,0077
		0,33	3,8	0,108	0,412	14,7	0,0116
Средняя (М) =	21,2	0,223	Сумма (S) =	1,725	39,7	0,0976
n=

 

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

 

= 0,88.

 

В программе Excel может использоваться функция =КОРРЕЛ(Диапазон1;Диапазон2) или модуль «Корреляция», который вызывается командой «Данные» - «Анализ данных». Он производит создание таблицы, которая называется «Корреляционная матрица», что позволяет вычислить коэффициент корреляции для нескольких признаков одновременно. Результат вычислений, выполненный с помощью указанного модуля, приведен в таблице 35.

Таблица 35

Вычисление корреляционной матрицы модулем «Корреляция»

	Температура воздуха (x)	Запыленность мг/м3 (y)
Температура воздуха (x)		0,876588407
Запыленность мг/м3 (y)	0,876588407

 

Оценка достоверности коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента:

= 0,152,

где: n – число парных вариант.

 

Критерий достоверности Стьюдента для коэффициента корреляции вычисляется по формуле:

= 5,8

 

Вывод: зависимость изменения двух изучаемых параметров является сильной прямой и статистически достоверной при уровне значимости p<0,05.

 

г) вычисление и оценка коэффициента корреляции методом Спирмена.

 

В таблице вариационных рядов производится подсчет рангов как показано в таблице 36. Каждому из 12 чисел присваивается порядковый номер по возрастанию в соответствии с его значением. При этом наличие повторяющихся чисел влияет на ранг последующих чисел. Например, если в списке целых чисел трижды встречается число 19, имеющее ранг 1, число 20 будет иметь ранг 4 (ни одно из чисел не будет иметь ранги 2 и 3). Вычисление ранга в программе Excel возможно с помощью функции =РАНГ(Число; Диапазон; Порядок). Например: =РАНГ(C25;C$24:C$35;1). Затем вычисляется разность рангов, она возводится в квадрат и суммируется.

 

Таблица 36

Вычисление рангов и суммы квадратов их отклонений

Варианта	Температура воздуха (x)	Запыленность мг/м3 (y)	Ранг x	Ранг y	dr = ранг x - ранг y	dr 2
		0,07
		0,08			-1
		0,08			-1
		0,2
		0,24
		0,25			-1
		0,26			-2
		0,27			-3
		0,28
		0,3			-1
		0,31
		0,33
					S=17
Вычисление коэффициента корреляции Спирмена:
		ρ =	0,94
Вычисление ошибки репрезентативности коэффициента корреляции:
			m=	0,107
Вычисление коэффициента достоверности Стьюдента для коэффициента корреляции:
			t=	8,76 > 2

 

Вывод: корреляционная связь двух изучаемых параметров является сильной прямой и статистически достоверной при уровне значимости p<0,05.

ЗАДАНИЯ

Запустите программу Excel, откройте требуемый файл в папке своей учебной группы под именем «Статистика–Фамилии студентов». На листе «Коррел-я», решите требуемый вариант заданий, сохраните изменения и покажите результат работы преподавателю.

 

Вариант 1

Выполнены измерения признаков, характеризующих температуру в помещении на рабочих местах работников предприятия и концентрацию вредных веществ (таблица 37).

Таблица 37

Данные измерений на рабочих местах предприятия

Измерение на рабочем месте	Температура воздуха, Со	Концентрация вещества, мг/м3
1. Слесарь		0,21
2. Электрик		0,26
3. Сварщик		0,25
4....		0,03
5....		0,04
6....		0,01
7....		0,31
8....		0,28
9....		0,36
10....		0,32
11....		0,21
12....		0,22

Определите силу и направление зависимости между температурой окружающей среды и концентрацией вредных веществ в помещении с помощью таблицы, графического изображения взаимосвязи между признаками, коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена, сделайте вывод.

Вариант 2

Выполнены измерения показателей физического развития школьников, характеризующих их рост стоя и объем грудной клетки (таблица 38).

Таблица 38

Данные физического развития школьников

Измерение	Рост, см	Объем грудной клетки, см
1. Чернов А.С.		70,8
2. Галкин М.В.		78,2
3. Попов А.М.		71,1
4....		73,2
5....		73,3
6....		78,2
7....		76,1
8....		76,3
9....		67,5
10....		76,1
11....		70,5
12....		76,6

Определите силу и направление зависимости между ростом и объем грудной клетки с помощью таблицы, графического изображения взаимосвязи между признаками, коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена, сделайте вывод.

 

Вариант 3

Врачом футбольной команды выполнены измерения показателей деятельности системы кровообращения и тренированности спортсменов, измерены частота пульса и систолический объем сердечного выброса (таблица 39).

Таблица 39

Данные измерений показателей деятельности сердечно-сосудистой системы спортсменов

Измерение	Пульс, уд/мин	Объем сердечного выброса, мл
1. Васильев А.С.
2. Морозов Н.Р.
3. Родионов А.К.
4....
5....
6....
7....
8....
9....
10....
11....
12....

Определите силу и направление зависимости между пульсом и систолическим объемом с помощью таблицы, графического изображения взаимосвязи между признаками, коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена, сделайте вывод.

 

Вариант 4

В городе Н. было проведено изучение зависимости заболеваемости инфарктом миокарда по месяцам года от среднемесячной температуры воздуха (таблица 40).

Таблица 40

Заболеваемость инфарктом миокарда и температура воздуха по месяцам

Определите силу и направление зависимости между заболеваемостью инфарктом миокарда и среднемесячной температурой воздуха с помощью таблицы, графического изображения взаимосвязи между признаками, коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена, сделайте вывод.

X. Метод регрессии

Метод регрессии - это статистический способ поиска функции, которая позволяет по величине одного коррелируемого признака судить о величине другого. С помощью регрессии ставится задача выяснить, как количественно меняется одна величина при изменении другой величины на единицу. Для выполнения такого прогноза требуется определить коэффициент корреляции Пирсона, с использованием которого вычисляют коэффициент регрессии (). Он участвует в создании регрессионной функции вида y=ax+b, которая применяется для прогнозирования требуемых параметров.

 

Коэффициент регрессии вычисляется по формуле:

,

где: R_y/x – коэффициент регрессии;

r_x/y – коэффициент корреляции Пирсона;

σ_x – среднее квадратическое отклонение признака x;

σ_y – среднее квадратическое отклонение признака y.

 

Среднее квадратическое отклонение (сигма) вычисляется по формуле:

,

а в программе Excel функцией = СТАНДОТКЛОН(Диапазон ячеек).

 

Значение коэффициента регрессии () в программе Excel может быть вычислено функцией =НАКЛОН(Диапазон_y; Диапазон_х).

 

Формула определения значения зависимого признака:

y = M_y + R_y/x (x - M _x),

 

где: y – зависимая переменная;

M_y – средняя признака y;

R_y/x - коэффициент регрессии;

x - значение измеренного признака;

M_x – средняя арифметическая признака x.

 

В программе Excel значение зависимой переменной (y) при заданном значении x может быть вычислено функцией =ПРЕДСКАЗ(x; Диапазон_y; Диапазон_x).

 

После получения прогнозируемого значения (y) выполняется определение его доверительного интервала с целью экстраполяции данных на генеральную совокупность с уровнем значимости p <0,05. Для этого вычисляется сигма регрессии , которая показывает меру вариабельности зависимого признака, вычисленного по уравнению регрессии, в генеральной совокупности.

Она определяется по формуле: . Вычисление значения может производиться функцией = СТАНДОТКЛОН(Диапазон_у).