Параметрическая оценка функции плотности распределения.

Будем исходить из предположения, что полученная выборка имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей, заданной в виде:

где а - - математическое ожидание,

- дисперсия.

Заменяя в формуле математическое ожидание и дисперсию их оценками, найденными по выборке, получим оценку предполагаемой модели закона нормального распределения, которая называется параметрической, так как определяется двумя параметрами Х и . Параметрическая оценка неизвестной функции плотности, построенная в предположении, что допустима нормальная модель, имеет вид:

где - середина i -го частичного интервала [ .

Значения функции (теоретическая плотность распределения) вычисляем в тех же самых точках, в которых вычисляли функцию по экспериментальным данным.

Для того, чтобы облегчить вычисление перейдем от переменной к переменной z по формуле:

Определив значения z по таблице 11 в методических указаниях находим значения функции плотности стандартной нормальной величины . Разделив .на получим значение функции .

Вычисления теоретической плотности распределения, а также теоретических вероятностей и частот предоставлены в таблице 3.

Таблица 3

Результаты вычисления теоретических вероятностей и частот.

h
[3,73;4,33)		4.03	-2.141	0.0404	0.0432	0.0259	1.554
[4,33;4,93)		4.36	-1.500	0.1295	0.1383	0.0830	4.980
[4,93;5,53)		5.23	-0.860	0.2756	0.2944	0.1766	10.598
[5,53;6,13)		5.83	-0.219	0.3894	0.4159	0.2496	14.974
[6,13;6,73)		6.43	0.422	0.3653	0.3902	0.2341	14.047
[6,73;7,33)		7.03	1.063	0.2275	0.2430	0.1458	8.748
[7,33;7,93)		7.63	1.704	0.0940	0.1004	0.0602	3.615
[7,93;8,53)		8.23	2.345	0.0252	0.0269	0.01162	0.969
						0.9914	59.485

В первом столбце помещены к – частичных полуинтервалов, во втором – наблюдаемые частоты , в третьем – координаты середины частичных интервалов, в четвертом – значения , которые используются для нахождения функций по таблице 11 методических указаний. В пятом столбце помещены значения плотности вероятностей, отнесенные к середине частичных интервалов в шестом и седьмом – теоретические вероятности и частоты, отнесенные к середине частичных интервалов. В восьмом столбце – вероятные реальные теоретические частоты.

Сумма всех значений теоретических вероятностей в интервале равна 0,9914, а сумма теоретических частот . Это указывает на необходимость вычислить дополнительные значения вероятностей слева и справа от заданного интервала, чтобы выполнялось условие . Дополняем слева и справа по два интервала и проводим необходимые расчеты.

Таблица 4

Дополнительные интервалы

h
[2,53;3,13)	-	2,83	-3,423	0,0012	0,0011	0,0007	0,040	-
[3,13;3,73)	-	3,43	-2,782	0,0084	0,0079	0,0047	0,283	-
[8,53;9,13)	-	8,83	2,986	0,0046	0,0043	0,0026	0,155	-
[9,13;9,73)	-	9,43	3,627	0,0005	0,0005	0,0003	0,017	-

В результате получаем, что сумма вероятностей по всем частичным интервалам, лежащим в границах [2,53;9,73) равна , а сумма всех частот по всем частичным интервалам . Это указывает на то, что все вычисления выполнены обоснованно и с достаточной точностью.

Для того, чтобы иметь наглядное представление о том, как изменяется экспериментальная и теоретическая плотность нормального распределения, строят их графики (рис.1).

	2,83	3,43	4.03	4.36	5.23	5.83	6.43	7.03	7.63	8.23	8,83	9,43
	0,0011	0,0079	0.0432	0.1383	0.2944	0.4159	0.3902	0.2430	0.1004	0.0269	0,0043	0,0005
			0,028	0,167	0,361	0,278	0,472	0,222	0,083	0,056