Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение вида

(22)

где p (x), q (x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является
то, что искомая функция y и ее первая производная входят в уравнениелинейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.

Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций: положим y = u (x) v (x). Тогда Подставивзначения y и в уравнение (22), получим:

(23)

Если выбрать v (x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т. е.

, (24)

то для второй функции u (x) из равенства (23) получится уравнение

(25)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):

(26)

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию (задача Коши).

Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение
в виде Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оноявляется линейным дифференциальным уравнением.

Положим y = u (x) v (x), тогда Подставив y и в уравнение, получим:

(*)

Найдем функцию v, решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования, положив ).

Из последнего уравнения следует: – общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставив найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение для функции u: . Найдем функцию – общее решениеэтого уравнения:

.

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

(27)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

Однородные уравнения

Функция f (x, y) называется однородной функцией m-го порядка (измерения), если

Дифференциальное уравнение вида

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (28)

называется однородным, если P (x, y) и Q (x, y) – однородные функции одного порядка.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(29)

С помощью подстановки , т. е. однородное дифференциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го порядка, так как выполнено

.

Разрешим данное уравнение относительно . Для этого запишем егов виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): .

Введем подстановку y= tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (х).

Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Заменяя t на и упрощая результат, получаем:

Поскольку функцию y (x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ: – общий интеграл уравнения.

Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка
и выбора метода его решения можно использовать табл. 3.

Таблица 3

Тип дифференциального уравнения	Вид, к которому приводится уравнение	Метод решения
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		Разделение переменных:
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = u (x) v (x),
Уравнение Бернулли		Замена: y = u (x) v (x),
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = tx, .