По теореме Безу, если число является корнем многочлена, т.е., то многочлен делится без остатка на.

Так как и , то число является корнем многочленов и , т.е. они делятся без остатка на .

Тогда

, .

Подставляя в предел вместо x число –3, получаем снова неопределенность , а значит нужно опять разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Это можно сделать путем нахождения корней квадратных трехчленов, стоящих в числителе и знаменателе.

Ответ: .

Задача 10. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Видим, что предел нужно найти от отношения двух иррациональных выражений. Подставляя вместо x число –8, получим вид неопределенности . В этом случае для того, чтобы неопределенность исчезла (для раскрытия неопределенности), необходимо в числителе и знаменателе иррациональность перевести на противоположную сторону дроби (из числителя в знаменатель или наоборот) и после приведения подобных членов сократить числитель и знаменатель на общий множитель.

Используем формулы:

для числителя, для знаменателя.

Ответ:0.

Задача 11. Вычислить предел функции .

Ответ: .

Задача 12. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число p, получим отношение двух бесконечно малых функций и вид неопределенности . Поскольку таблица эквивалентных бесконечно малых функций получена при условии, что аргумент функций , то для удобства использования таблицы сделаем замену таким образом, чтобы новая переменная стремилась к нулю.

Ответ: .

Задача 13. Вычислить предел функции .

Ответ: .

Задача 14. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число 0, получим отношение двух бесконечно малых функций и вид неопределенности . Поскольку замену на эквивалентные функции можно производить только в произведении и частном, необходимо преобразовать выражение к частному, например путем вынесения общего множителя или вынесением переменной x. Затем заменяем бесконечно малые функции на эквивалентные функции.

Ответ: .

Задача 15. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число 0, получим отношение двух бесконечно малых функций и вид неопределенности . Поскольку таблица эквивалентных бесконечно малых функций получена при условии, что аргумент функций , то для удобства использования таблицы сделаем замену таким образом, чтобы новая переменная стремилась к нулю.

Ответ: .

Задача 16. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число 0, получим вид неопределенности . Этот вид неопределенности требует особого подхода к его раскрытию.

Способ 1. С помощью некоторых преобразований привести предел ко второму замечательному пределу: , где — бесконечно малая функция при x → 0.

Способ 2. Поскольку мы имеем дело со степенно-показательной функцией, то можем преобразовать ее к показательной функции

и затем вычислить предел.

Ответ: .

Задача 17. Вычислить предел функции .

Ответ: .

Задача 18. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число p, получим вид неопределенности . Этот вид неопределенности требует особого подхода к его раскрытию.

С помощью некоторых преобразований привести предел ко второму замечательному пределу: , где — бесконечно малая функция при x → 0.

Ответ: .

Задача 19. Вычислить предел функции .

Решение. При вычислении предела функции, прежде всего, следует найти вид неопределенности. Подставляя вместо x число 1, получим отношение двух бесконечно малых функций и неопределенность , которая легко раскрывается путем замены бесконечно малых функций на эквивалентные функции.