Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда.

Определение. Единичной функцией Хэвисайда называется функция .

График этой функции выглядит следующим образом:

С помощью этой функции оригиналы можно записывать в аналитическом виде.

Пример 1. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Решение.

Пример 2. Построить график и записать единым аналитическим выражением

Решение.

Определение. Смещенной единичной функцией Хэвисайда называется функция , .

Число - это “ задержка ” или смещение этой функции.

График смещённой функции Хэвисайда выглядит следующим образом.

С помощью функции Хэвисайда, любую функцию можно “включить с задержкой “ путём умножения на .

Пример 3. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Решение.

Пример 4. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Решение.

Примеры для самостоятельного решения

Построить графики следующих оригиналов

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Ответы:

1)	2)
3)	4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции Хевисайда

2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда

Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.

Определение. Изображением функции - оригинала называется функция комплексной переменной , определяемая формулой .

Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.

Определение. Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу его изображение называют преобразованием Лапласа.

Теорема. Для всякого оригинала существует изображение , определённое в полуплоскости , где — показатель роста , причём связь между и является взаимно – однозначной.

Соответствие изображения оригиналу можно обозначать следующим образом: , а соответствие оригинала изображению таким образом: .

Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда :

Таким образом , если .

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности.

Если , а , то при любых

.

Свойство затухания.

Если , то .

Свойство подобия.

Если , то для любого .

С помощью основных свойств преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов: , , , , , , , , , которые затем поместим в таблицу.

Найдем изображение константы с.

.

Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:

,	,
,	;

Используя свойства затухания и линейности получаем:

;

;

;

.

Применяя свойство затухания, получаем:

;

;

;

.

Примеры 1-4. Найти изображение следующих оригиналов

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решение.

Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:

1)

2)

3)

4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение изображения

2. Сформулируйте теорему линейности

3. Сформулируйте теорему подобия

4. Сформулируйте теорему затухания