Практика 12 (21 октября у обеих групп).

Задача 1. Найти расстояние от точки M₀ (1,3,5) до плоскости .

Решение. По формуле получаем, что

= = .

Ответ. .

Задача 1а. Найти расстояние от точки M₀ (7,15,22) до плоскости .

Решение. По формуле получаем, что

= = .

Ответ. .

Задача 2. (На плоскости). Даны три точки , , .

Вывести уравнение прямой, содержащей АВ, и найти расстояние от точки С до этой прямой (то есть высоту треугольника АВС).

Решение. Вектор АВ равен , и это есть направляющий на прямой, порождаемой отрезком АВ. Можем считать, что он отложен от точки А. В то же время вектор АМ до произвольной точки , который равен , пропорционален АВ. Тогда , то есть , и уравнение прямой: .

Теперь по формуле найдём расстояние от этой прямой до точки . = = .

Ответ. Прямая , расстояние 3.

Задача 3. Найти угол между двумя плоскостями: и .

Решение. Нормали к этим плоскостям: и .

= = .

 

Ответ. , что приблизительно составляет 83,6 градусов.

Прямая в пространстве

Задача 4. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему .

Решение. Если отложить вектор от к произвольной точке , то вектор коллинеарен вектору , то есть их координаты пропорциональны. Тогда:

(это мы сейчас получили канонические уравнения).

Если каждую такую дробь приравнять к некоторому параметру , то

, , , следовательно:

, , .

Тогда - параметрические уравнения.

Ответ. ,

Задача 5. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое) по точке и направляющему (с произвольными случайно взятыми параметтрами, которые придумает группа).

 

Задача 6. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей и .

Решение. Векторное произведение нормалей это направляющий вектор, вычислим его. =

= .

Итак, направляющий вектор .

Теперь нужно найти хотя бы одну точку на этой прямой. Чтобы взять произвольную точку из пересечения плоскостей, можно положить и решить систему, вычислив .

Два уравнения, без , приводят к такой системе: .

Выразим из 2-го и подставим в 1-е.

Получим . Тогда , т.е. .

Но тогда . Итак, получили точку .

Вектор от этой точки к произвольной точке равен и он попорционален направляющему вектору. Тогда

канонические уравнения этой прямой.

Приравнивая все эти дроби к , можно вычислить и параметрические уравнения .

Ответ. , .

Задача 7. Доказать, что прямая пересекает ось и найти точку пересечения.

Решение. Если прямая пересекает ось , то точка пересечения имеет вид . Если в первые две дроби вместо подставить 0, то получим . Тогда , т.е. .

Ответ. (0,0,1).

Задача 8. Найти угол между прямой

и плоскостью .

Решение. Формула, выведенная в лекциях: .

Направляющий к прямой , нормаль к плоскости .

Их скалярное произведение равно 9.

Модули векторов равны и .

Ответ. .

 

Задача 9. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами , , и проходящей через вершину А.

Решение. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и .

Их векторное произведение:

= = .

Итак, вектор . Но можно в том же направлении выбрать вектор короче в 3 раза (для удобства вычислений) ведь направление от этого не изменится. Итак, пусть направляющий для прямой , точка . Вектор от к произвольной точке имеет вид

. Он коллинеарен , есть пропорциональность координат. Тогда . Это и есть канонические уравнения. Перейти к параметрическим можно так же, как и в прошлых задачах: приравнять все дроби к и выразить всё через .

Ответ. Канонические ,

параметрические .

 

Задача 10. Доказать, что две прямые в пространстве

и пересекаются, и найти точку пересечения.

Решение. Если у них естьь общая точка, то можно приравнять из первых и вторых равенств. Но неизвестно, при каком параметре достигаются эти значения в каждом случае, поэтому нужно решить систему уравнений, положив в первых равенствах , а во вторых .

перенесём все , в одну сторону, а константы в другую, чтобы система была записана в стандартной форме.

расширенная матрица:

Преобразуем методом Гаусса. От 2-й строки отнимем утроенную 1-ю, а к 3-й прибавим 4-кратную 1-ю.

т.е. то есть сразу же из 2-го и 3-го уравнений, и они не противоречат друг другу. Кстати, эта система совместна, равнги основной и расширенной матриц совпадают, так как равны 2. Из 1-го затем , т.е. .

Затем подставить в первые уравнения либо во вторые,

получим одни и те же значения для .

, т.к. и

Ответ точка пересечения (1,1,2).

Задача 11. Доказать, что две прямые в пространстве:

и скрещивающиеся, и найти расстояние между ними.

Решение. Решая систему уравнений, как в прошлой задаче, здесь мы обнаружим, что система несовместна.

матрица:

прибавим ко 2-й строке 1-ю, а от 3-й отнимем 1-ю.

получили систему

2-е и 3-е уравнения противоречат друг другу. Система не имеет решений, значит, эти 2 прямые не имеют ни одной общей точки.

Так как направляющие векторы и не коллинеарны, то прямые не параллельные, а скрещивающиеся.

Найдём расстояние между ними. Точку на каждой прямой можно найти, присваивая . , . Вектор, соединяющий две прямых, .

Вычисляем по формуле .

Смешанное произведение с помощью определителя.

 

= (прибавили 2-ю строку к 1-й)

= = , а по модулю получается 4.

= = .

Модуль векторного произведения равен = .

= . Ответ. .

Дом. задача 1. (12.22 [1]) Доказать, что прямые

и пересекаются и найти точку.

Ответ. (3,7,-6).

Дом. задача 2. (12.35 [1])

Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми:

и

Ответ 13.

Практика 13. Прямая в пространстве. Кривые и поверхности.

 

Практика 14. Повторение и контрольная работа.

Темы 2-й контрольной:

5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).

6. Системы уравнений, метод Гаусса

7. Собственные числа и векторы

8. Уравнения прямой и плоскости

Приложение 1.

Пример одного варианта контрольных работ.

Темы 1-й контрольной:

1. Действия над матрицами.

2. Определители.

3. Обратная матрица.

4. Ранг матрицы.

 

Вариант:

1) Умножить матрицы

2) Найти определитель

3) Найти обр.матрицу

4) Найти ранг матрицы

 

Темы 2-й контрольной:

5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).

6. Системы уравнений, метод Гаусса

7. Собственные числа и векторы

8. Уравнения прямой и плоскости

 

Вариант:

5) Векторы выражены через : , .

, , угол между ними 60 градусов. Найти .

 

6) Решить систему

7) Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

8) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,4,2) перпендикулярно вектору (2,1,2).

 

 

Литература.

[1]. Магазинников Л.И. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.

[2]. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.