Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Определение 1: суммой нескольких событий называется событие состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Причем, если А и В совместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если же А и В – несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А или события В.

Определение 2: произведением нескольких событий называется событие состоящее в совместном наступлении этих событий.

Определение 3: разностью А – В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.

Пример: Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Событие А ∙ В – С – награждение победителя одновременно и призом и премией без выдачи медали.

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий): вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А + В) = Р (А)+ Р (В) (5)
Аналогично для суммы нескольких попарно несовместных событий:

Р (А 1+ А 2+…+ Аn) = Р (А 1)+ Р (А 2)+..+ Р (Аn) (6)
 Следствие 1: Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

Р (А) + Р (Ā)=1 (7)

Теорема 2 (теорема сложения вероятностей для совместных событий): вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Р (А + В) = Р (А)+ Р (В) – Р (А∙В) (8)
Как отмечалось выше, вероятность Р (А) как мера степени объективной возможности наступления события А имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий (условия испытания, опыта). При изменении условий (например, если к условиям добавить событие В) вероятность события А может измениться.

Определение 1: Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А. Обозначается РВ (А) (или Р (А/В)).

Теорема 3 (теорема умножения вероятностей): вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже произошло

Р (А∙В) = Р (А) ∙РА (В) = Р (В) ∙РВ (А) (9)
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

Р (А∙В∙С∙ … ∙K∙L)= Р (А) ∙РА (В) ∙РАВ (С) ∙ … ∙РАВC…K (L) (10)
В случае, рассматриваемом выше, вероятность события А менялась при добавлении к комплексу условий события В. Если этого не происходит, то события А и В называются независимыми.

Определение 2: Событие А называется независимым от события В, если вероятность события а не зависит от того, произошло событие В или нет, т.е. РВ (А) = Р (А).

Пример: поражение цели двумя стрелками – независимые события.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей для двух и нескольких событий примет вид:

Р (А∙В) = Р (А) ∙Р (В) (11)
 Р (А∙В∙С∙ … ∙K∙L)= Р (А) ∙Р (В) ∙Р (С) ∙ … ∙ Р (L) (12)

Пример: В двух ящиках находятся белые и черные шары, причем в первом ящике 30% белых шаров, а во втором 60% белых шаров. Наудачу из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что среди них: а) два черных шара; б) один белый и один черный шар; в) хотя бы один черный шар.

Решение:

Рассмотрим события А 1 и А 2, состоящие в том, что из первого и второго ящика соответственно извлечен белый шар, тогда противоположные им события Ā 1 и Ā 2 заключаются в извлечении черного шара из первого и второго ящика соответственно.

По условию Р (А 1) = 0,3 и Р (А 2) = 0,6, тогда Р (Ā 1) = 1–0,3 =0,7, Р (Ā 2) = 1–0,6 =0,4.

а) Событие В – извлекли два черных шара

Событие В состоит в совместном наступлении событий Ā 1 и Ā 2, т.е. В = Ā 1∙ Ā 2

Учитывая, что события Ā 1 и Ā 2 – независимые, по теореме умножения вероятностей для независимых событий, получим

Р (В) = Р (Ā 1 ∙ Ā 2) = Р (Ā 1) ∙Р (Ā 2) = 0,7 ∙ 0,4 = 0,28

б) Событие С – извлекли один белый и один черный шар

Событие С заключается в том, что из первого ящика извлекают белый шар, а из второго – черный, либо из первого ящика извлекают черный шар, а из второго белый. Т.о. С = А 1 ∙ Ā 2 + Ā 1 ∙ А 2

Учитывая, что события А 1 ∙ Ā 2 и Ā 1 ∙ А 2 – несовместные, то по теореме сложения вероятностей для несовместных событий, имеем

Р (С) = Р (А 1 ∙ Ā 2 + Ā 1 ∙ А 2) = Р (А 1 ∙ Ā 2)+ Р (Ā 1 ∙ А 2) = 0,3∙0,4+0,7∙0,6 = 0,54.

в) Событие D – извлекли хотя бы один черный шар

Рассмотрим событие
противоположное событию D состоящее в том, что извлечены два белых шара, т.е.
= А 1∙ А 2

Р (
) = Р (А 1 ∙ А 2) = Р (А 1) ∙Р (А 2) = 0,3 ∙ 0,6 = 0,18

Р (D) = 1 – Р (
) = 1 – 0,18 = 0,82.

Ответ: Р (В) = 0,28; Р (С) = 0,54; Р (D) = 0,82.