Задачи разобрать и порешать!!! Для участия в интернат - олимпиаде в 5 классе.

Задачи на принцип Дирихле:

1) Родители 25 учеников 5 класса «А» купили своим детям мобильные телефоны возьми разных моделей. Найдутся ли четыре ученика, имеющие телефоны одной модели?

2) В спортивный лагерь приехали отдыхать 97 человек. Докажите, что среди них найдутся хотя бы 9 человек, родившихся в один месяц.

3) В кондитерский отдел завезли 45 коробок с конфетами пяти разных наименований, причем в каждой коробке лежат конфеты только какого-то одного наименования. Найдутся ли 9 коробок с конфетами одного наименования?

4) Вычислите значение дроби:

В ней разные буквы (множители) заменяют разные цифры, между которыми стоит знак умножения)

5) Лена и Борис играют в интересную игру. Лена рассыпает на шахматной доске 195 маленьких бусинок, а Борис пытается найти 4 бусинки, попавшие в одно поле. Если ему это удается, то он выигрывает. В противном случае выигрывает Лена. Кто из них обязательно выиграет, а кто проиграет?

6) Учитель математики объявил результаты самостоятельной работы, проведенной в 5 классе. Наибольшее число ошибок имел Олег. У него было ровно 13 ошибок. Можно ли найти среди 28 учащихся 5 класса, допустивших ошибки, три ученика с одинаковым количеством ошибок?

7) Какое максимальное количество клеток на доске размером 6×6 можно закрасить, чтобы никакие две из закрашенных клеток не соприкасались (даже в одной точке).

Историческая справка репетитора математики:
Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — великий немецкий математик, оставивший после себя несколько важных открытий в различных областях математики и физики: в математическом анализе (признак Дирихле сходимости ряда, функция Дирихле), в теории чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии). Имеются труды по математической физике (принцип Дирихле в теории гармонических функций).

Формулировка принципа Дирихле: При раскладывании (распределении) k предметов по n ящикам (классам) обязательно найдется ящик (класс), в котором количество этих предметов не меньше чем .

Пример 1. В шкафу лежат вперемешку 5 пар светлых ботинок и 5 пар темных ботинок одинаковых размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (на правую и левую ноги) одинакового цвета?

Пример 2. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

Пример 3. В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не меньше 2-х красных и не меньше 3-х синих?

Пример 4. В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8-ми банках клубничное варенье, в 7-ми - малиновое, в 5-ти - вишневое. Каково наибольшее число банок, которые можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там осталось еще хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого?

Пример 5. В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди них обязательно оказались два шарика одного цвета?