Монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции

Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале . Она не убывает (не возрастает) на тогда и только тогда, когда для всех выполняется неравенство .

◄Пусть не убывает на (случай невозрастания рассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку и приращения такие, что . Если , то и .

Если , то , но все равно . Предел существует и равен . По теореме о предельном перехоле в неравенстве этот предел .

Обратно пусть для всех выполняется неравенство . Пусть , . К отрезку можно применить теорему Лагранжа. Действительно, т.к. дифференцируема на , то она непрерывна на , а, значит, и на . Также по условию она дифференцируема на . Следовательно, .►

Теорема допускает уточнение

Теорема. Пусть дифференцируема на и для всех выполняется неравенство . Тогда возрастает на .

◄Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любых , , имеет место неравенство

.►

Замечание. Утверждать, что если функция возрастает, то для всех выполняется неравенство нельзя. Пример функции показывает, что хотя эта функция возрастает на всей прямой, есть точка , в которой ее производная равна 0.

Таким образом, даже возрастание функции гарантирует, по теореме 29.1, лишь нестрогое неравенство .

В теореме Ферма установлено необходимое условие экстремума: Если функция имеет производную в точке экстремума , то .

Как показывает пример из предыдущего замечания, , это условие не является достаточным.

Теорема. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности и пусть для всех и для всех . Тогда -точка минимума. Если же для всех и для всех , то - точка максимума.

◄Проведём доказательство для точки минимума. Пусть , и .

Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :

.

Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку :

,

Поэтому . Таким образом, - точка минимума.►

Теорема. Пусть , существует в и . Пусть такова, что ,
Тогда если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.

◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, согласно которой, с учётом равенства , имеем:

, где при .

Пусть . Так как при , существует такое, что для любых : выполняется неравенство .

Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е. , поэтому знак этой суммы совпадает со знаком . Но знак этой величины совпадает со знаком как при , так и при , так как . Следовательно, приращение не меняет знак в окрестности точки , и знак его совпадает со знаком . Это и означает, что если , то - точка максимума, а если , то - точка минимума.►

Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме.

Теорема. Пусть , существует в и . Пусть точка такова, что , а . Тогда если n – чётное число, то в точке есть экстремум, минимум при , максимум при .

Если же n – нечётное число, то в точке экстремума нет.

◄Аналогично предыдущей теореме, получаем равенство , где при , из которого точно так же следует, что знак приращения совпадает со знаком при условии .

Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, как для , так и для , поэтому знак приращения совпадает со знаком и заключение теоремы становится очевидным.

Если же n – нечётное число, то величина положительна при и отрицательна при , поэтому приращение меняет свой знак в произвольной окрестности точки , следовательно, в точке нет экстремума. ►