Математическая формализация

Лекция 1. Введение в теорию принятия решений

Основные понятия теории принятия решений

Математические модели и методы – необходимый элемент экономической теории на микро- и макроуровне. Использование математики в экономике позволяет:

· во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов;

· во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки;

· в-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям;

· в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

 

Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью обеспечения принятия решений – область научно-практической деятельности, получившая мощный стимул к развитию во время и сразу после Второй мировой войны. Это направление развивалось вместе с развитием кибернетики, исследования операций, системного анализа и информатики.

При построении, изучении и применении экономико-математических моделей принятия решений используются различные экономико-математические методы. Их можно разделить на несколько групп:

· - методы оптимизации;

· - вероятностно-статистические методы;

· - методы построения и анализа имитационных моделей;

· - методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные схемы.

Методы оптимальных решений опираются на теорию оптимальных решений. Рассмотрим основные понятия теории принятия решений1.

Кто принимает решения? В теории принятия решений есть специальный термин – лицо, принимающее решение, сокращенно ЛПР. Это тот, на ком лежит ответственность за принятое решение, тот, кто подписывает приказ или иной документ, в котором выражено решение. Обычно это генеральный директор или председатель правления, командир воинской части, мэр города и т.п. Но иногда действует коллективный ЛПР, например, совет директоров, Государственная Дума Российской Федерации.

Проект решения готовят специалисты или, как говорят, «аппарат ЛПР». Однако ответственность лежит на ЛПР, а не на тех, кто участвовал в подготовке решения.

В практической работе важно четко отделять этап дискуссии, когда рассматриваются различные варианты решения, от этапа принятия решения, после которого надо решение выполнять, а не обсуждать.

Порядок подготовки решения (регламент). Регламенты, определяющие порядок работы, очень важны. От них зависит принятое решение.

Цели. Каждое решение направлено на достижение одной или нескольких целей. Возможны случаи, когда несколько целей можно достичь одновременно. Но чаще бывает по-другому.

Например, часто встречающаяся формулировка «максимум прибыли при минимуме затрат» внутренне противоречива. Минимум затрат равен 0, когда работа не проводится, то и прибыль тогда тоже равна 0. если же прибыль велика, то и затраты велики, поскольку и то, и другое связано с объемом производства. Можно либо максимизировать прибыль при фиксированных затратах, либо минимизировать затраты при заданной прибыли, но невозможно добиться «максимума прибыли при минимуме затрат».

Часто одной и той же цели можно добиться различными способами.

Ресурсы. Каждое решение предполагает использование тех или иных ресурсов. В практической работе над проектом решения важно отвечать на вопросы: «Чего мы хотим достичь? Какие ресурсы мы готовы использовать для этого?»

Риски и неопределенности. Многие решения принимаются в условиях риска, т.е. при возможной опасности потерь. Связано это с разнообразными неопределенностями, окружающими нас. Неопределенность – это недостаточность информации о тех или иных факторах. Кроме отрицательных неожиданностей, бывают положительные – удачи. При принятии решений следует застраховаться от потерь и не пропустить удачу.

Формулировка «Максимум прибыли и минимум риска» - внутренне противоречива. Обычно при возрастании прибыли возрастает и риск – возможность многое или все потерять. Неопределенность значений показателей, на основе которых принимаются решения, описывается интервальными значениями этих показателей, например (60 ± 3) % или 1000 ± 200 руб. Поэтому необходимо изучить устойчивость выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных, а также по отношению к малым изменениям предпосылок используемой математической модели. Любое измерение проводится с некоторой погрешностью, и эту погрешность необходимо указывать.

Критерии оценки решения. Критерии оценки решения могут самыми разнообразными. Можно исходить из наихудшего случая или наилучшего случая (пессимистический подход и оптимистический подход), средней выгоды (интегрального критерия, объединяющего оптимистический и пессимистический подходы), упущенной выгоды.

Критерии могут противоречить друг другу. Поэтому ЛПР приходится решать, какой из критериев для него важнее. В этом ему может помочь теория полезности, хорошо разработанная в экономике (в частности, так называемая маржинальная полезность в теории поведения потребителей и др.) и имеющая развитый математический аппарат.

Математическая формализация

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и компьютерное моделирование, должна быть проведена формализация этого процесса, то есть построена математическая модель. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее устанавливать ее свойства, характеризующие, в конечном счете, свойства моделируемого объекта.

Вид математической модели зависит от природы реального объекта, задач исследования, требуемой достоверности и точности решения этих задач, наконец, от вкуса и квалификации исследователя.

Модель – это условный образ исследуемого объекта, который приближенно воссоздает этот объект с помощь некоторого языка. В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, планирование производства, использование мощностей и др.), а языком – математические методы.

Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.

Примерами экономико-математических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и другие. При построении моделей экономисты выявляют существенные факторы, которые определяют исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

Применение математического моделирования при принятии решений предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования.

Первый – от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи.

Второй – математическое изучение и решение этой задачи.

Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме.

В области моделирования задач принятия решений, как и в иных областях применения математики, выделяют четверку проблем: задача – модель – метод – условия применимости.

Задача, как правило, порождена потребностями той или иной прикладной области. При этом происходит одна из возможных математических формализаций реальной ситуации. Например, при изучении предпочтений потребителей у маркетологов возникает вопрос: различаются ли мнения двух групп потребителей?

При математической формализации мнения потребителей в каждой группе обычно моделируются как независимые случайные выборки, т.е. как совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин. Вопрос маркетологов в рамках этой модели переформулируется в вопрос о проверке той или иной статистической гипотезы однородности, например, о проверке равенства математических ожиданий или о совпадении функций распределения двух совокупностей.

Задача может возникнуть при обобщении потребностей ряда прикладных областей. Необходимости проверки упомянутой гипотезы однородности возникает и в медицине при сравнении двух групп пациентов, в технике при сопоставлении результатов обработки деталей двумя способами и в других областях. Следовательно, одна и та же математическая модель может применяться для решения разных по прикладной сущности задач.

Другими словами, следует различать математическую структуру модели и ее экономическое содержание. Рассмотрим два простых примера2.

Пример 1. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в банк при заданной ставке процента (20 % годовых), чтобы через год получить 12000долл.?

Введем формальные обозначения для величин рассматриваемой задачи:

М₀ – начальная сумма денег;

М₁ – конечная сумма денег;

r – ставка процента.

Запишем соотношение между ними (математическую модель):

М₁ = М₀ ´(1+ r /100).

Найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели:

Долл.

Пример 2. Пусть требуется определить, каков был объем выпуска продукции предприятия, если в результате технического перевооружения средняя производительность труда увеличилась на 20 %, и предприятие стало выпускать 12000 единиц продукции.

Введем формальные обозначения для величин рассматриваемой задачи:

Q₀ – начальный выпуск;

Q₁ – конечный выпуск;

r – процент прироста производительности.

Запишем соотношение между ними (математическую модель):

Q₁ = Q₀ ´(1+ r /100).

Найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели:

Ед.

 

Сравнивая полученные модели и результаты, можно заметить, что математическая форма модели имеет вид:

Х₁ = Х₀ ´(1+ r /100),

который является одинаковым для обоих примеров, как и числовые значения входящих в нее величин и результатов. Однако экономическая ситуация, описываемая моделью и экономическое содержание модели и результатов расчета совершенно различны. Таким образом, одни и те же математические модели и методы могут быть использованы для решения совершенно разных экономических задач.

Метод, используемый в рамках определенной математической модели – это дело математиков. Для решения задачи в рамках одной и той же принятой исследователем модели может быть предложено много методов. Например, центральная предельная теорема теории вероятностей была получена такими разными методами, как: теорема Муавра – Лапласа, метод моментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова, метод Линдеберга и метод Феллера. Для проверки гипотезы однородности могут использоваться методы Смирнова, Лемана – Розенблата, Вилкоксона и др.

Условия применимости – полностью математический элемент четверки. С точки зрения математика замена условия дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности представляет существенное научное достижение, в то время как для прикладного исследователя, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции мало отличаются от дифференцируемых. Точнее, они одинаково могут быть использованы для описания реальной действительности.

Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказания будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшения экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться только на интуицию. Но при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющих на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку она включает наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и т.п. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем исследователя аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.